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向量的生成空間 (The Span of a Set of Vectors)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch1-6 The Span of a Set of Vectors。

什麼是 Span？​

直觀理解​

給定一組向量，對它們進行任意的縮放（乘以純量）和相加，所有能產生的向量就構成了這組向量的 Span。

Span 描述的是：一組向量能夠「張成」多大的空間。

嚴格定義​

Definition: Span

對於 Rn\mathbb{R}^n 中的非空向量集合 S={u1,u2,…,uk}\mathcal{S} = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k\}，我們定義 S\mathcal{S} 的 Span（生成空間） 為所有 u1,u2,…,uk\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k 的線性組合所構成的集合：

Span S={c1u1+c2u2+⋯+ckuk:c1,c2,…,ck∈R}\boxed{\text{Span } \mathcal{S} = \{c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 + \cdots + c_k\mathbf{u}_k : c_1, c_2, \ldots, c_k \in \mathbb{R}\}}

也可以寫成 Span{u1,u2,…,uk}\text{Span}\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k\}。

簡單來說：Span 就是「用這些向量能組合出的所有可能結果」的集合。

Span 是名詞還是動詞？

兩者皆可！

  • 作為名詞：Span S\text{Span } \mathcal{S} 是一個集合，代表由 S\mathcal{S} 中向量線性組合所張成的空間
  • 作為動詞：「向量 u1,u2\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 span 一個平面」表示這些向量的線性組合構成了該平面

因此「span 出的空間」這種說法是正確的，span 在此作為動詞，意思是「張成」或「生成」。


Span 的幾何意義​

單一向量的 Span：直線​

如果 S\mathcal{S} 只包含一個非零向量 u\mathbf{u}，那麼：

Span{u}={cu:c∈R}\text{Span}\{\mathbf{u}\} = \{c\mathbf{u} : c \in \mathbb{R}\}

這是所有 u\mathbf{u} 的純量倍數，幾何上就是一條通過原點、方向為 u\mathbf{u} 的直線。

單一向量的 Span 是一條直線

上圖展示了向量 u\mathbf{u} 的 Span：所有 cuc\mathbf{u}（c∈Rc \in \mathbb{R}）構成一條通過原點的直線。圖中的 0.5u0.5\mathbf{u} 和 −0.5u-0.5\mathbf{u} 都是這條直線上的點。

兩個非平行向量的 Span：平面​

如果 S\mathcal{S} 包含兩個非平行（non-parallel）的向量 u1\mathbf{u}_1 和 u2\mathbf{u}_2，那麼：

Span{u1,u2}={c1u1+c2u2:c1,c2∈R}\text{Span}\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} = \{c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\}

這是一個通過原點的平面。平面上的任意向量 v\mathbf{v} 都可以表示為 u1\mathbf{u}_1 和 u2\mathbf{u}_2 的線性組合。

兩個非平行向量的 Span 是一個平面

上圖展示了兩個非平行向量 u1\mathbf{u}_1 和 u2\mathbf{u}_2 的 Span：它們張成一個通過原點的平面。平面上的任意向量 v\mathbf{v} 都可以寫成 v=c1u1+c2u2\mathbf{v} = c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2。

三個非共面向量的 Span：整個 R³​

在 R3\mathbb{R}^3 中，如果三個向量不共面（即沒有任何一個向量可以被其他兩個線性組合出來），那麼它們的 Span 就是整個 R3\mathbb{R}^3。

經典例子：標準基底向量

e1=[100],e2=[010],e3=[001]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

則：

Span{e1,e2,e3}=R3\text{Span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\} = \mathbb{R}^3

因為任意向量 [abc]=ae1+be2+ce3\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2 + c\mathbf{e}_3。

三個標準基底向量張成整個 R³

上圖展示了 R3\mathbb{R}^3 中的三個標準基底向量 e1\mathbf{e}_1、e2\mathbf{e}_2、e3\mathbf{e}_3，它們的 Span 是整個三維空間。

平行向量的 Span：仍是直線​

如果兩個向量是平行的（即其中一個是另一個的純量倍數），那麼它們的 Span 仍然只是一條直線。

範例：設 S1={[1−1]}\mathcal{S}_1 = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\} 和 S2={[1−1],[−22]}\mathcal{S}_2 = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}

因為 [−22]=−2[1−1]\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}，所以：

Span S1=Span S2=一條直線\text{Span } \mathcal{S}_1 = \text{Span } \mathcal{S}_2 = \text{一條直線}

平行向量的 Span 仍是直線

上圖說明了當兩個向量平行時，即使有兩個向量，它們的 Span 仍然只是一條直線，因為其中一個向量是「冗餘」的。


Span 的基本性質​

Properties of Span
  1. Span{0}={0}\text{Span}\{\mathbf{0}\} = \{\mathbf{0}\}（零向量的 Span 只有零向量本身）
  2. Span{u}=\text{Span}\{\mathbf{u}\} = 所有 u\mathbf{u} 的純量倍數的集合
  3. 如果 S\mathcal{S} 包含至少一個非零向量，則 Span S\text{Span } \mathcal{S} 包含無限多個向量

Span 的矩陣表示​

Span 也可以用矩陣來表示。設 A=[u1  u2  ⋯  uk]A = [\mathbf{u}_1 \; \mathbf{u}_2 \; \cdots \; \mathbf{u}_k] 是一個 n×kn \times k 矩陣，其 columns 就是 S\mathcal{S} 中的向量，則：

Span S={Av:v∈Rk}\boxed{\text{Span } \mathcal{S} = \{A\mathbf{v} : \mathbf{v} \in \mathbb{R}^k\}}

這個表示法將 Span 與矩陣乘法連結起來，後續討論 Column Space 時會再深入探討。


如何判斷向量是否在 Span 內？​

核心問題​

給定向量集合 S={u1,u2,u3}\mathcal{S} = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\} 和向量 v\mathbf{v}，如何判斷 v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S}？

方法：轉換為線性方程組​

判斷 v 是否在 Span(S) 內的方法

要檢查向量 v\mathbf{v} 是否在 Span(S)\text{Span}(\mathcal{S}) 裡，這等價於判斷：

v\mathbf{v} 是否可以被 S\mathcal{S} 中的向量線性組合出來？

也就是說，是否存在純量 c1,c2,…,ckc_1, c_2, \ldots, c_k 使得：

c1u1+c2u2+⋯+ckuk=vc_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 + \cdots + c_k\mathbf{u}_k = \mathbf{v}

這可以改寫成矩陣方程：

Ax=v\boxed{A\mathbf{x} = \mathbf{v}}

其中 A=[u1  u2  ⋯  uk]A = [\mathbf{u}_1 \; \mathbf{u}_2 \; \cdots \; \mathbf{u}_k]。

結論：v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S} ⇔\Leftrightarrow Ax=vA\mathbf{x} = \mathbf{v} 有解（consistent）

判斷向量是否在 Span 內

上圖展示了判斷向量是否在 Span 內的概念：向量 v\mathbf{v} 落在 Span{u1,u2,u3}\text{Span}\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\} 所張成的平面上，所以 v∈Span(S)\mathbf{v} \in \text{Span}(\mathcal{S})；而向量 w\mathbf{w} 不在這個平面上，所以 w∉Span(S)\mathbf{w} \notin \text{Span}(\mathcal{S})。

範例​

設 S={[1211],[−11−21],[18−15]}\mathcal{S} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}\right\}，v=[305−1]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix}，w=[213−1]\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}

問題：(1) v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S}？ (2) w∈Span S\mathbf{w} \in \text{Span } \mathcal{S}？

解法：建立矩陣 A=[1−112181−2−1115]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 8 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}，然後分別求解 Ax=vA\mathbf{x} = \mathbf{v} 和 Ax=wA\mathbf{x} = \mathbf{w}。

對於 v\mathbf{v}：增廣矩陣 [A∣v][A \mid \mathbf{v}] 的 RREF 為：

[1031012−200000000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

沒有矛盾列 ⇒\Rightarrow 有解 ⇒\Rightarrow v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S} ✓

對於 w\mathbf{w}：增廣矩陣 [A∣w][A \mid \mathbf{w}] 的 RREF 為：

[1030012000010000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

第三列為 [0  0  0∣1][0 \; 0 \; 0 \mid 1]，這是矛盾 ⇒\Rightarrow 無解 ⇒\Rightarrow w∉Span S\mathbf{w} \notin \text{Span } \mathcal{S} ✗


生成集合 (Generating Set)​

定義​

Definition: Generating Set

設 S,V⊆Rn\mathcal{S}, \mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^n。如果 Span S=V\text{Span } \mathcal{S} = \mathcal{V}，則我們說：

  • 「S\mathcal{S} 是 V\mathcal{V} 的生成集合 (Generating Set)」
  • 或「S\mathcal{S} 生成 (generates) V\mathcal{V}」

白話解釋：如果用 S\mathcal{S} 中的向量做線性組合，可以「製造出」V\mathcal{V} 中的所有向量，那麼 S\mathcal{S} 就是 V\mathcal{V} 的生成集合。

Generating Set 的概念

上圖說明了 Generating Set 的概念：集合 S\mathcal{S} 中的向量透過線性組合可以「生成」整個空間 V\mathcal{V}，因此 S\mathcal{S} 是 V\mathcal{V} 的生成集合。

Generating Set 與 Span 的關係

我的理解方式：

  • Span 是一個「操作」：給定一組向量，Span 告訴你它們能張成什麼空間
  • Generating Set 是一個「身份」：如果 S\mathcal{S} 的 Span 恰好等於某個目標空間 V\mathcal{V}，那麼 S\mathcal{S} 就獲得了「V\mathcal{V} 的生成集合」這個身份

簡單來說：S\mathcal{S} generates V\mathcal{V} ⇔\Leftrightarrow Span S=V\text{Span } \mathcal{S} = \mathcal{V}

範例：判斷是否為 R³ 的生成集合​

問題：S={[100],[110],[111],[1−21]}\mathcal{S} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} 是否生成 R3\mathbb{R}^3？

分析：S\mathcal{S} generates R3\mathbb{R}^3 ⇔\Leftrightarrow 對於任意 v∈R3\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3，Ax=vA\mathbf{x} = \mathbf{v} 都有解。

設 A=[1111011−20011]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}，對任意 v∈R3\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3，求 [A∣v][A \mid \mathbf{v}] 的 RREF：

R=[1003010−30011]R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

觀察：rank(A)=3=\text{rank}(A) = 3 = 列數（rows of AA）

這意味著 [R∣c][R \mid \mathbf{c}] 不會有只含 c\mathbf{c} 分量的非零列，所以對任意 v\mathbf{v}，系統都是 consistent。

結論：Span S=R3\text{Span } \mathcal{S} = \mathbb{R}^3，即 S\mathcal{S} 生成 R3\mathbb{R}^3 ✓


Span 與 Rank 的關係​

Theorem 1.6：Span 與 Rank 的等價條件​

Theorem 1.6

對於 m×nm \times n 矩陣 AA，以下條件等價：

(a) AA 的 columns 的 Span 是 Rm\mathbb{R}^m（即 columns 生成 Rm\mathbb{R}^m）

(b) 對於任意 b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 至少有一個解

(c) rank(A)=m\boxed{\text{rank}(A) = m}（AA 的列數）

(d) AA 的 RREF 沒有全零列

(e) AA 的每一列都有 pivot position

Span 與 Rank 的關係

我的理解：

  • Span 描述的是一組向量能張成的空間
  • Rank 描述的是這個空間的維度

具體來說：

  • 矩陣 AA 的 columns 張成的空間稱為 Column Space
  • 這個空間的維度就是 rank(A)\text{rank}(A)

所以：

  • rank(A)=m\text{rank}(A) = m ⇔\Leftrightarrow Column Space = Rm\mathbb{R}^m ⇔\Leftrightarrow Columns 生成 Rm\mathbb{R}^m
  • rank(A)<m\text{rank}(A) < m ⇔\Leftrightarrow Column Space 是 Rm\mathbb{R}^m 的真子集 ⇔\Leftrightarrow 有些向量無法被線性組合出來

簡言之：Rank 就是 Span 的維度。

Theorem 1.6 的證明思路​

  • (a) ⇔ (b)：根據 Span 的定義，b∈Span(columns of A)\mathbf{b} \in \text{Span}(\text{columns of } A) 等價於 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 有解
  • (c) ⇔ (d)：根據 rank 的定義
  • (b) ⇒ (c)：若 (b) 成立但 rank(A)<m\text{rank}(A) < m，則 RREF 有全零列，取 b=em\mathbf{b} = \mathbf{e}_m（第 mm 個標準基底向量）會導致矛盾
  • (c) ⇒ (b)：若 rank(A)=m\text{rank}(A) = m，則 RREF 沒有全零列，所以不會出現 [0  0  ⋯  0∣d][0 \; 0 \; \cdots \; 0 \mid d] 的矛盾列
  • (d) ⇔ (e)：根據 pivot position 的定義

冗餘向量與 Span​

什麼是冗餘向量？​

如果一個向量可以被集合中的其他向量線性組合出來，那麼這個向量就是「冗餘」的——移除它不會改變 Span。

Theorem 1.7：冗餘向量的判定​

Theorem 1.7

設 S={u1,u2,…,uk}\mathcal{S} = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k\} 是 Rn\mathbb{R}^n 中的向量集合，v\mathbf{v} 是 Rn\mathbb{R}^n 中的向量。則：

Span{u1,u2,…,uk,v}=Span{u1,u2,…,uk}\text{Span}\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k, \mathbf{v}\} = \text{Span}\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k\}

若且唯若 v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S}（即 v\mathbf{v} 是其他向量的線性組合）。

加入一個「冗餘」的向量不會擴大 Span；只有加入「新方向」的向量才會擴大 Span。

證明思路：

  • 若 v∈Span S\mathbf{v} \in \text{Span } \mathcal{S}：則 v=a1u1+⋯+akuk\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + \cdots + a_k\mathbf{u}_k。任何 S∪{v}\mathcal{S} \cup \{\mathbf{v}\} 的線性組合都可以只用 S\mathcal{S} 表示，所以 Span 不變。

  • 若 v∉Span S\mathbf{v} \notin \text{Span } \mathcal{S}：則 v\mathbf{v} 本身就在 Span(S∪{v})\text{Span}(\mathcal{S} \cup \{\mathbf{v}\}) 中但不在 Span S\text{Span } \mathcal{S} 中，所以兩個 Span 不相等。

這個定理的實用意義

這個定理告訴我們：從集合中移除「冗餘向量」不會改變 Span。

這在尋找「最小生成集合」（也就是基底 Basis）時非常重要——可以不斷移除冗餘向量，直到剩下的向量都是「必要的」。