21 篇文件帶有標籤「Linear Algebra」

本篇筆記介紹基本列運算與基本矩陣的對應關係、如何透過基本矩陣表達列運算、基本矩陣的可逆性，以及列等價與核心定理 PA = R。

本篇筆記介紹 Span 的定義與幾何意義、如何判斷向量是否在 Span 內、Generating Set 的概念、以及 Span 與 Rank 的關係。

本篇筆記深入探討基底與維度的定義，理解為何基底同時滿足「生成」與「線性獨立」兩個條件，並透過範例掌握如何找出子空間的基底與計算其維度。

本篇筆記深入探討子空間的定義、判定條件，並剖析 Null Space 與 Column Space 在矩陣理論中的核心角色。透過幾何直覺理解 Span 與 Subspace 的本質關係。

本篇筆記探討座標系統的核心概念，理解如何在不同基底下表示同一個向量，並介紹座標向量與轉換矩陣的定義與計算方法。

本篇筆記介紹特徵值與特徵向量的定義、幾何意義，以及如何透過特徵多項式求解特徵值，並深入探討特徵空間 (Eigenspace) 的概念。

本篇筆記深入探討特徵多項式的結構與性質，包括代數重根數與幾何重根數的關係、相似矩陣的不變量。

本篇筆記介紹矩陣乘法的定義、運算規則與基本性質，包含矩陣乘法的維度要求、結合律、分配律、不可交換性、轉置與乘積的關係，以及反矩陣的重要公式。

本篇筆記探討矩陣對角化的定義、幾何意義與判斷條件，包括如何透過特徵值與特徵向量將矩陣分解為 A = PDP⁻¹ 的形式，以及不可對角化矩陣（虧缺矩陣）的特性。

本篇筆記介紹反矩陣的定義與唯一性、反矩陣的重要性質定理，以及使用 Gauss-Jordan 方法求解反矩陣。

本篇筆記介紹線性代數中最基礎的概念：矩陣與向量。內容涵蓋矩陣的定義、大小、相等性、基本運算（加法、純量乘法、減法）、轉置，以及向量的定義與幾何意義。

本篇筆記介紹線性方程組的定義、解的分類（consistent/inconsistent）、增廣矩陣、基本列運算、列梯形式與簡化列梯形式，以及如何系統性地求解 Ax=b。

本篇筆記介紹線性相關與線性獨立的定義、如何用 Rank 判斷、齊次方程組的性質、以及與 One-to-One 的關係。

本篇筆記探討線性算子的矩陣表示法，理解如何在給定基底下將線性算子表示為矩陣，並揭示座標系統、基底轉換與線性變換之間的深刻聯繫。

本篇筆記介紹線性組合的定義與幾何意義、矩陣與向量乘積的運算、標準向量、單位矩陣、隨機矩陣與旋轉矩陣等特殊矩陣。

本篇筆記深入探討線性變換的映成 (Onto)、一對一 (One-to-One) 性質，透過 Rank 判斷方法，並解釋 Null Space 與 Column Space 在這些概念中的核心角色。

本篇筆記介紹線性變換的定義與性質、線性變換與矩陣的對應關係、值域與核的概念，以及如何判斷一個函數是否為線性變換。

本篇筆記探討矩陣的 Row Space、Column Space 與 Null Space 維度之間的關係，理解為何 dim(Row A) = dim(Col A) = rank(A)。

本篇筆記介紹行列式的核心性質，包含 Row Operations 對行列式的影響、轉置矩陣與相乘矩陣的行列式，以及行列式與矩陣可逆性的關係。

本篇筆記介紹行列式的定義、子式與餘因子的概念，以及餘因子展開公式。同時探討行列式在幾何上的意義——二維平行四邊形面積與三維平行六面體體積。

本篇筆記介紹高斯消去法的演算法步驟、Rank 與 Nullity 的定義與幾何意義、判斷解的存在性與唯一性、以及 R² 與 R³ 的集合論關係。