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高斯消去法 (Gaussian Elimination)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch1-4 Gaussian Elimination。

高斯消去法 (Gaussian Elimination)​

什麼是高斯消去法？​

高斯消去法 (Gaussian Elimination) 是一種系統性的演算法，用於將任意矩陣轉換成簡化列梯形式 (Reduced Row Echelon Form, RREF)。

在上一篇中，我們學到了 REF 和 RREF 的定義，但沒有詳細說明「如何」將矩陣轉換成這些形式。高斯消去法就是這個「如何」的答案——它提供了一套明確的步驟，讓我們可以機械化地完成這個轉換。

演算法概覽​

高斯消去法分為兩個階段：

階段名稱目標步驟
Forward Pass前向消去將矩陣化為 REFStep 1-4
Backward Pass後向消去將 REF 化為 RREFStep 5-6

高斯消去法流程


Forward Pass：前向消去 (Step 1-4)​

Step 1：找出 Pivot Column 與 Pivot Position​

從矩陣的最左邊開始，找出第一個非全零的 column，這個 column 稱為 Pivot Column（主元行）。

在這個 pivot column 中，第一列的位置稱為 Pivot Position（主元位置）。

[A∣b]=[002−4−52501−1131−1060−65167][A \mid \mathbf{b}] = \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & 2 & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{6} & 0 & -6 & 5 & 16 & 7 \end{array}\right]

在這個例子中，第一個 column 全為 00，所以第二個 column 是 pivot column，而位置 (1,2)(1, 2) 是 pivot position。

Step 2：Row Interchange（列交換）​

如果 pivot position 的元素是 00，則在 pivot column 中選擇一個非零元素所在的列，與第一列交換，使得 pivot position 變成非零。

[002−4−52501−1131−1060−65167]→R1↔R2[01−1131−1002−4−525060−65167]\left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{0} & 2 & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & 0 & -6 & 5 & 16 & 7 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & 2 & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & 6 & 0 & -6 & 5 & 16 & 7 \end{array}\right]

Step 3：消去 Pivot 下方的元素​

將 pivot position 所在列的適當倍數，加到下方的每一列，使得 pivot position 下方的所有元素都變成 00。

[01−1131−1002−4−525060−65167]→R3−6R1[01−1131−1002−4−525006−12−131013]\left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{6} & 0 & -6 & 5 & 16 & 7 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 - 6R_1} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & 6 & -12 & -13 & 10 & 13 \end{array}\right]

Step 4：遞迴處理子矩陣​

忽略包含 pivot position 的那一列，對剩餘的子矩陣重複 Step 1-4。

[01−1131−1002−4−525006−12−131013]\left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \boxed{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ \hline 0 & 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{2} & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & -12 & -13 & 10 & 13 \end{array}\right]

對子矩陣繼續執行 Step 1-4，直到處理完所有列，最終得到 REF：

[01−1131−1002−4−525000024−2](REF)\left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \boxed{1} & -1 & 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \boxed{2} & -4 & -5 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{2} & 4 & -2 \end{array}\right] \quad \text{(REF)}

Backward Pass：後向消去 (Step 5-6)​

Step 5：正規化並消去 Pivot 上方的元素​

從最後一個 pivot（最下方的非零列）開始：

  1. 若 leading entry 不是 11，則將該列縮放使其變成 11
  2. 將該列的適當倍數加到上方的每一列，使得 pivot position 上方的所有元素都變成 00
[01−1131−1002−4-525000024−2]→12R3[01−1131−1002−4-525000012−1]\left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{3} & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{-5} & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{2} & 4 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{\frac{1}{2}R_3} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{3} & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{-5} & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{1} & 2 & -1 \end{array}\right] →R1−3R3,  R2+5R3[01−110−52002−40120000012−1]\xrightarrow{R_1 - 3R_3, \; R_2 + 5R_3} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 2 & -1 \end{array}\right]

Step 6：繼續處理上一個 Pivot​

對上一個 pivot 重複 Step 5，直到處理完第一列為止。

→12R2[01-110−52001−2060000012−1]→R1+R2[010−1012001−2060000012−1]\xrightarrow{\frac{1}{2}R_2} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & 1 & \fcolorbox{red}{mistyrose}{-1} & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{1} & -2 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 + R_2} \left[\begin{array}{cccccc|c} 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & \fcolorbox{orange}{lightyellow}{0} & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & -2 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 2 & -1 \end{array}\right]

最終得到 RREF。


Pivot 相關術語​

在高斯消去法中，有幾個重要的術語需要釐清：

術語定義
Pivot PositionRREF 中 leading entry（領導元素）所在的位置
Pivot位於 pivot position 的元素（在 RREF 中必為 11）
Pivot Column包含 pivot position 的 column
[1200−1−500100−3000112000000]\left[\begin{array}{ccccc|c} \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 2 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

在上面的 RREF 中：

  • Pivot positions：(1,1)(1,1)、(2,3)(2,3)、(3,4)(3,4)
  • Pivots：三個 11（藍色標記）
  • Pivot columns：第 11、33、44 個 column
全零 Column 的意義

如果 RREF 中某個 column 全為 00（不含 b\mathbf{b} 的部分），這代表什麼？

我的理解：這個 column 對應的變數是 free variable。因為這個 column 沒有 pivot，所以對應的變數不受任何方程式「直接約束」，可以取任意值。

但要注意：全零 column 和「沒有 pivot 的 column」是同一件事。只要一個 column 沒有 pivot，它對應的變數就是 free variable，不管這個 column 是否全為零。


秩 (Rank) 與零度 (Nullity)​

Rank 的定義​

Definition: Rank

對於一個 m×nm \times n 矩陣 AA，其秩 (Rank) 定義為 AA 的 RREF 中非零列 (nonzero rows) 的數量，記作 rank(A)\text{rank}(A)。

等價地，rank 也等於 pivot columns 的數量。

Nullity 的定義​

Definition: Nullity

對於一個 m×nm \times n 矩陣 AA，其零度 (Nullity) 定義為：

nullity(A)=n−rank(A)\text{nullity}(A) = n - \text{rank}(A)

也就是 non-pivot columns 的數量。

範例​

考慮增廣矩陣 [A∣b][A \mid \mathbf{b}] 及其 RREF [R∣c][R \mid \mathbf{c}]：

[A∣b]=[12−1212−1−2123624−3203−3−62039]→RREF[1200−1−500100−3000112000000][A \mid \mathbf{b}] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & -3 & 2 & 0 & 3 \\ -3 & -6 & 2 & 0 & 3 & 9 \end{array}\right] \xrightarrow{\text{RREF}} \left[\begin{array}{ccccc|c} \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 2 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \fcolorbox{blue}{lightcyan}{1} & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
  • 非零列 (nonzero rows) 數量：33 列
  • Pivot columns：第 11、33、44 個 column
  • rank(A)=3\text{rank}(A) = 3
  • nullity(A)=5−3=2\text{nullity}(A) = 5 - 3 = 2（因為 AA 有 55 個 columns）
Nullity 的兩種計算方式

計算 nullity 時，nn 到底要不要包含 b\mathbf{b}？

答案：不包含！

  • nullity(A)\text{nullity}(A) 計算的是係數矩陣 AA 的 nullity，所以 nn 是 AA 的 column 數
  • nullity([A∣b])\text{nullity}([A \mid \mathbf{b}]) 計算的是增廣矩陣的 nullity，所以 nn 是 AA 的 column 數加 11

通常我們關心的是 nullity(A)\text{nullity}(A)，因為它代表 free variables 的數量。

以上面的例子來說：

  • rank([A∣b])=rank([R∣c])=3\text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = \text{rank}([R \mid \mathbf{c}]) = 3
  • rank(A)=rank(R)=3\text{rank}(A) = \text{rank}(R) = 3
  • nullity([A∣b])=6−3=3\text{nullity}([A \mid \mathbf{b}]) = 6 - 3 = 3
  • nullity(A)=5−3=2\text{nullity}(A) = 5 - 3 = 2 ← 這才是 free variables 的數量

Rank 與 Nullity 的意義​

Rank 的意義​

角度Rank 的意義
代數意義RREF 中非零列的數量 = pivot 的數量
方程組意義「有效」方程式的數量（非冗餘的約束條件）
變數意義Basic variables 的數量

範例：考慮以下矩陣及其 RREF：

A=[121242363]→RREF[121000000]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
  • rank(A)=1\text{rank}(A) = 1（只有 11 個非零列）
  • 代表只有 11 個「有效」方程式，其他兩列都是第一列的倍數（冗餘的）
  • 只有 11 個 basic variable（x1x_1）
Rank 的幾何意義

Rank 代表矩陣 column vectors 所張成空間的維度。

直觀來說：

  • rank(A)=1\text{rank}(A) = 1：所有 column vectors 都在同一條直線上
  • rank(A)=2\text{rank}(A) = 2：所有 column vectors 都在同一個平面上
  • rank(A)=3\text{rank}(A) = 3：column vectors 張成整個三維空間

Rank 告訴我們「這些向量實際上佔據了多少維度」。

Rank 的幾何意義

上圖展示了不同 rank 對應的幾何意義：rank = 1 代表向量張成一條直線，rank = 2 代表張成一個平面，rank = 3 代表張成整個三維空間。

Nullity 的意義​

角度Nullity 的意義
代數意義Non-pivot columns 的數量
變數意義Free variables 的數量
解的意義解空間的「自由度」

範例：沿用上面的矩陣 AA：

A=[121242363]→RREF[121000000]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
  • nullity(A)=3−1=2\text{nullity}(A) = 3 - 1 = 2（33 個變數，11 個 pivot）
  • 代表有 22 個 free variables（x2x_2 和 x3x_3）
  • 解空間有 22 個自由度，可以用 22 個參數來表示所有解
Nullity 的幾何意義

Nullity 代表零空間 (Null Space) 的維度，也就是齊次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解空間維度。

直觀來說：

  • nullity(A)=0\text{nullity}(A) = 0：Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 只有唯一解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}（稱為 trivial solution）
  • nullity(A)=1\text{nullity}(A) = 1：解空間是一條通過原點的直線
  • nullity(A)=2\text{nullity}(A) = 2：解空間是一個通過原點的平面

Nullity 告訴我們「解有多少自由度可以變化」。

ℹ️ 提示：Nullity 與零空間的概念在後續章節會有更深入的探討，這裡先帶到一些結論。

Nullity 的幾何意義

上圖展示了不同 nullity 對應的解空間：nullity = 0 代表只有唯一解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}，nullity = 1 代表解空間是一條通過原點的直線，nullity = 2 代表解空間是一個通過原點的平面。


Rank-Nullity Theorem​

對於任意 m×nm \times n 矩陣 AA：

rank(A)+nullity(A)=n\boxed{\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n}

這個定理告訴我們：basic variables 的數量 + free variables 的數量 = 總變數數量。

這是顯然的，因為每個變數不是 basic 就是 free。


Rank 與解的判斷​

Theorem 1.5：Consistency 的判斷​

Theorem 1.5: Test for Consistency

設 A∈Mm×nA \in M_{m \times n}，b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m。以下條件等價：

  1. 矩陣方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 是 consistent（有解）
  2. b\mathbf{b} 是 AA 的 column vectors 的線性組合
  3. 增廣矩陣 [A∣b][A \mid \mathbf{b}] 的 RREF 中，沒有形如 [0  0  ⋯  0∣d][0 \; 0 \; \cdots \; 0 \mid d]（d≠0d \neq 0）的列
  4. rank(A)=rank([A∣b])\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])

條件 4 的直觀解釋：

  • 如果 rank(A)<rank([A∣b])\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])，代表 b\mathbf{b} 那一行「貢獻」了一個新的 pivot
  • 這只會發生在出現 [0  0  ⋯  0∣d][0 \; 0 \; \cdots \; 0 \mid d] 的情況，也就是矛盾方程式 0=d0 = d
  • 所以 rank(A)=rank([A∣b])\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) 等價於「沒有矛盾」等價於「有解」

範例：

(100101100001)\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
  • rank(A)=2\text{rank}(A) = 2（前兩列有 pivot）
  • rank([A∣b])=3\text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = 3（第三列的 b\mathbf{b} 部分也是 pivot）
  • 因為 rank(A)≠rank([A∣b])\text{rank}(A) \neq \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])，所以 Inconsistent

解的完整分類​

結合 rank、nullity 與 consistency，我們可以完整分類線性方程組的解：

條件解的情況
rank(A)≠rank([A∣b])\text{rank}(A) \neq \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])無解 (Inconsistent)
rank(A)=rank([A∣b])\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) 且 nullity(A)=0\text{nullity}(A) = 0唯一解
rank(A)=rank([A∣b])\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) 且 nullity(A)>0\text{nullity}(A) > 0無限多解
我的記憶方式

判斷解的存在性與唯一性，我用兩個問題：

  1. 有沒有解？ → 看 rank(A)\text{rank}(A) 是否等於 rank([A∣b])\text{rank}([A \mid \mathbf{b}])
  2. 解是否唯一？ → 看 nullity(A)\text{nullity}(A) 是否為 00

如果 nullity = 0，代表沒有 free variables，所有變數都被唯一決定，所以是唯一解。 如果 nullity > 0，代表有 free variables 可以任意取值，所以是無限多解。

方陣的特殊情況​

對於 n×nn \times n 方陣 AA：

rank(A)=n⇔A 可逆 (Invertible)\text{rank}(A) = n \quad \Leftrightarrow \quad A \text{ 可逆 (Invertible)}

這是因為：

  • rank(A)=n\text{rank}(A) = n 意味著 RREF 有 nn 個 pivots
  • 對於 n×nn \times n 矩陣，這意味著 RREF 是單位矩陣 InI_n
  • 而 RREF 是 InI_n 等價於 AA 可逆

集合論基礎​

為了理解後續關於向量空間的討論，我們需要先回顧一些集合論的基本概念。

集合與元素​

  • 集合 (Set)：一群物件的聚集，例如 S1={a,b,c,d}S_1 = \{a, b, c, d\}
  • 元素 (Element)：集合中的個別物件
  • 屬於 (∈\in)：a∈S1a \in S_1 表示「aa 是 S1S_1 的元素」
  • 不屬於 (∉\notin)：e∉S1e \notin S_1 表示「ee 不是 S1S_1 的元素」
  • 空集合 (∅\emptyset)：不包含任何元素的集合

子集 (Subset)​

Definition: Subset

集合 S2\mathcal{S}_2 是集合 S1\mathcal{S}_1 的子集 (Subset)，記作 S2⊆S1\mathcal{S}_2 \subseteq \mathcal{S}_1，若且唯若：

∀x∈S2,  x∈S1\forall x \in \mathcal{S}_2, \; x \in \mathcal{S}_1

也就是說，S2\mathcal{S}_2 的每一個元素都是 S1\mathcal{S}_1 的元素。

範例：設 S1={a,b,c,d}S_1 = \{a, b, c, d\}，S2={a,b}S_2 = \{a, b\}

  • S2⊆S1S_2 \subseteq S_1？ ✓ Yes（a,ba, b 都在 S1S_1 中）
  • S1⊆S2S_1 \subseteq S_2？ ✗ No（c,dc, d 不在 S2S_2 中）

集合相等​

兩個集合 A\mathcal{A} 與 B\mathcal{B} 相等，記作 A=B\mathcal{A} = \mathcal{B}，若且唯若：

A⊆B且B⊆A\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} \quad \text{且} \quad \mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}

實數向量空間的定義​

實數集合​

R\mathbb{R} 是所有實數的集合，包含所有有理數和無理數。

n 維實數向量空間的嚴格定義​

Definition: Rn\mathbb{R}^n

Rn\mathbb{R}^n 是所有具有 nn 個分量的實數向量的集合：

Rn={[x1x2⋮xn]:x1,x2,…,xn∈R}\mathbb{R}^n = \left\{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} : x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \right\}

具體例子：

R2={[xy]:x,y∈R},R3={[xyz]:x,y,z∈R}\mathbb{R}^2 = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} : x, y \in \mathbb{R} \right\}, \quad \mathbb{R}^3 = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} : x, y, z \in \mathbb{R} \right\}

二維空間不是三維空間的子集​

為什麼 R2⊄R3\mathbb{R}^2 \not\subset \mathbb{R}^3？

這是一個常見的誤解。很多人直覺上會認為：「R2\mathbb{R}^2 不就是 R3\mathbb{R}^3 中的一個平面嗎？」

但從集合論的角度來看，這是錯的！

關鍵問題：[11]∈R3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 嗎？

答案是 No！

因為 [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} 是一個 2 維向量，而 R3\mathbb{R}^3 的元素必須是 3 維向量。

這兩個東西的「型態」根本不同，就像問「蘋果是橘子嗎？」一樣。

R² 不是 R³ 的子集

上圖展示了 R2\mathbb{R}^2 和 R3\mathbb{R}^3 的元素型態差異：R2\mathbb{R}^2 的元素是 2 維向量，R3\mathbb{R}^3 的元素是 3 維向量，它們是完全不同類型的物件。

那三維空間中的平面呢？​

R3\mathbb{R}^3 中確實有一個「看起來像 R2\mathbb{R}^2」的平面，那就是 z=0z = 0 平面：

P={[xy0]:x,y∈R}\mathcal{P} = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x, y \in \mathbb{R} \right\}

這個集合 P\mathcal{P} 是 R3\mathbb{R}^3 的子集，因為它的每個元素都是 3 維向量。

但 P≠R2\mathcal{P} \neq \mathbb{R}^2！它們的元素型態不同：

  • P\mathcal{P} 的元素：[120]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}（3 維向量）
  • R2\mathbb{R}^2 的元素：[12]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}（2 維向量）

我們說 P\mathcal{P} 與 R2\mathbb{R}^2 是同構 (Isomorphic) 的，意思是它們有相同的「結構」，但它們不是同一個集合。

元素 vs 子集​

區分「元素」與「子集」

另一個常見的混淆是：

  • [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} 是 R2\mathbb{R}^2 的元素嗎？ → Yes
  • {[11]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} 是 R2\mathbb{R}^2 的子集嗎？ → Yes
  • [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} 是 R2\mathbb{R}^2 的子集嗎？ → No（向量不是集合）

記住：

  • 「∈\in」連接的是「元素」與「集合」
  • 「⊆\subseteq」連接的是「集合」與「集合」