矩陣與向量 (Matrices and Vectors)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Section 1.1 Matrices and Vectors。

矩陣 (Matrix)

定義

矩陣 (Matrix) 是一個由純量 (Scalar) 組成的矩形陣列。若一個矩陣有 $m$ 列 (rows) 與 $n$ 行 (columns)，則稱該矩陣的大小 (Size) 為 $m \times n$（讀作「$m$ by $n$」）。

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = [a_{ij}] \in \mathcal{M}_{m \times n}$$

其中 $\mathcal{M}_{m \times n}$ 表示所有大小為 $m \times n$ 的矩陣所構成的集合。

關於「行」與「列」的釐清

剛開始學習線性代數時，常常搞混「行」和「列」。更麻煩的是，根據維基百科所述，中國大陸與台灣對「行」「列」的定義是相反的：

	Row（橫向）	Column（縱向）
台灣	列	行
中國大陸	行	列

因此，建議直接使用英文術語 Row 和 Column，避免混淆：

• Row：橫向排列，像是一「排」座位
• Column：縱向排列，像是建築物的「柱子」

在數學符號中，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 個 row、第 $j$ 個 column 的元素，這個順序是固定的：先 row 後 column。

基本術語

• $(i, j)$-元素 ((i, j)-entry)：位於第 $i$ 列、第 $j$ 行的純量 $a_{ij}$
• 方陣 (Square Matrix)：當 $m = n$ 時，稱該矩陣為方陣
• 子矩陣 (Submatrix)：從原矩陣中刪除若干列和/或若干行後所得到的矩陣

範例：

$$B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 15 & 20 \\ 45 & 64 \end{bmatrix} \in \mathcal{M}_{3 \times 2}$$

此矩陣 $B$ 的大小為 $3 \times 2$（3 列 2 行），其中 $b_{21} = 15$，$b_{32} = 64$。

矩陣的相等 (Equality of Matrices)

兩個矩陣 $A$ 與 $B$ 相等 (Equal)，若且唯若：

1. $A$ 與 $B$ 具有相同的大小
2. 所有對應位置的元素皆相等

$$\text{令 } A, B \in \mathcal{M}_{m \times n}, \text{ 則 } A = B \Leftrightarrow a_{ij} = b_{ij}, \; \forall i = 1, \ldots, m, \; j = 1, \ldots, n$$

範例：

$$A = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 15 & 20 \\ 45 & 64 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 15 & 21 \\ 45 & 64 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 15 & 20 \\ 45 & 64 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 15 & 20 \\ 45 & 64 \\ 17 & 38 \end{bmatrix}$$

• $A = C$（大小相同且所有元素相等）
• $A \neq B$（$a_{22} = 20 \neq 21 = b_{22}$）
• $A \neq D$（大小不同：$A$ 是 $3 \times 2$，$D$ 是 $4 \times 2$）

矩陣的基本運算

矩陣加法 (Matrix Addition)

若 $A$ 與 $B$ 皆為 $m \times n$ 矩陣，則其和 (Sum) $A + B$ 定義為：

$$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

即對應位置的元素相加。

範例：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

純量乘法 (Scalar Multiplication)

令 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，$c$ 為純量。純量乘積 (Scalar Multiple) $cA$ 定義為：

$$(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$$

即矩陣中每個元素都乘以 $c$。

範例：

$$3 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 3 & 12 \\ -3 & 15 \end{bmatrix}$$

矩陣減法 (Matrix Subtraction)

對於相同大小的矩陣 $A$ 與 $B$，其差 (Difference) 定義為：

$$A - B = A + (-B) = A + (-1)B$$

其中 $(A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$。

零矩陣 (Zero Matrix)

所有元素皆為 $0$ 的 $m \times n$ 矩陣稱為 $m \times n$ 零矩陣，記為 $O$ 或 $O_{m \times n}$。

$$O_{2 \times 3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

性質：

• $A + O = O + A = A$（加法單位元素）
• $0 \cdot A = O$（任何矩陣乘以純量 0 得零矩陣）

注意

不同大小的零矩陣雖然都記為 $O$，但它們是不同的矩陣。例如 $O_{2 \times 2}$ 與 $O_{3 \times 2}$ 是不同的零矩陣。

定理 1.1：矩陣加法與純量乘法的性質

令 $A$、$B$、$C$ 為 $m \times n$ 矩陣，$s$、$t$ 為純量，則：

性質	公式	名稱
(a)	$A + B = B + A$	加法交換律
(b)	$(A + B) + C = A + (B + C)$	加法結合律
(c)	$A + O = A$	加法單位元素
(d)	$A + (-A) = O$	加法反元素
(e)	$(st)A = s(tA)$	純量乘法結合律
(f)	$s(A + B) = sA + sB$	分配律（對矩陣）
(g)	$(s + t)A = sA + tA$	分配律（對純量）

轉置 (Transpose)

定義

一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 的轉置 (Transpose)，記為 $A^T$，是一個 $n \times m$ 矩陣，其 $(i, j)$-元素等於 $A$ 的 $(j, i)$-元素。

$$(A^T)_{ij} = a_{ji}$$

換言之，轉置操作將矩陣的列與行互換。

範例：

$$C = \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 18 & 31 \\ 52 & 68 \end{bmatrix} \Rightarrow C^T = \begin{bmatrix} 7 & 18 & 52 \\ 9 & 31 & 68 \end{bmatrix}$$

定理 1.2：轉置的性質

令 $A$、$B$ 為 $m \times n$ 矩陣，$s$ 為純量，則：

性質	公式
(a)	$(A + B)^T = A^T + B^T$
(b)	$(sA)^T = sA^T$
(c)	$(A^T)^T = A$

向量 (Vector)

定義

• 列向量 (Row Vector)：只有一列的矩陣，即 $1 \times n$ 矩陣

  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

• 行向量 (Column Vector)：只有一行的矩陣，即 $m \times 1$ 矩陣

  $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \text{ 或等價地寫成 } \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}^T$

注意

在這本教材中，除非特別說明，向量 (Vector) 一詞預設指的是 Column Vector。

向量空間 Rⁿ

$\mathbb{R}^n$ 表示所有具有 $n$ 個實數分量的行向量所構成的集合：

$$\mathbb{R}^n = \mathcal{M}_{n \times 1}$$

對於向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$：

$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$

其中 $v_i$ 稱為 $\mathbf{v}$ 的第 $i$ 個分量 (Component)。

零向量 (Zero Vector)

所有分量皆為 $0$ 的向量稱為零向量，記為 $\mathbf{0}$。

$$\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}, \quad 0 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}$$

向量的幾何意義

R² 中的向量

在二維平面中，向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 可視為從原點 $(0, 0)$ 指向點 $(a, b)$ 的有向線段。

向量加法的幾何意義

兩個向量 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 的和 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 可透過平行四邊形法則或首尾相接法來理解：

1. 將 $\mathbf{v}$ 的起點移至 $\mathbf{u}$ 的終點
2. 從原點到 $\mathbf{v}$ 新終點的向量即為 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$

純量乘法的幾何意義

純量 $c$ 與向量 $\mathbf{v}$ 的乘積 $c\mathbf{v}$：

• 當 $c > 1$ 時：向量被拉長
• 當 $0 < c < 1$ 時：向量被縮短
• 當 $c < 0$ 時：向量反向並依 $|c|$ 縮放

矩陣與向量的關係

任何 $m \times n$ 矩陣 $C$ 都可以視為：

• $m$ 個列向量的堆疊
• $n$ 個行向量的並排

$$C = \begin{bmatrix} \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{c}_n \end{bmatrix}$$

其中每個 $\mathbf{c}_j$ 是一個 $m \times 1$ 的 column vector：

$$\mathbf{c}_j = \begin{bmatrix} c_{1j} \\ c_{2j} \\ \vdots \\ c_{mj} \end{bmatrix}$$

這種觀點在後續討論線性組合、column space、row space 等概念時非常重要。