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線性變換與矩陣 (Linear Transformations and Matrices)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch2-7 Linear Transformations and Matrices。

從函數到變換 (From Functions to Transformations)​

在學習線性代數的過程中，我們逐漸將「矩陣」從一個靜態的數字表格，轉變為可以「作用」在向量上的動態工具。本章將正式引入線性變換 (Linear Transformation) 的概念，揭示矩陣與函數之間深刻的聯繫。

我們先回顧函數的概念：一個從集合 VV 到集合 WW 的函數 (Function) TT，記作 T:V→WT: V \to W，是一種對應規則，將 VV 中的每個元素 v\mathbf{v} 對應到 WW 中唯一的元素 T(v)T(\mathbf{v})。

當 VV 和 WW 都是向量空間時，我們習慣使用以下術語：

術語說明
變換 (Transformation)向量空間之間的函數
運算子 (Operator)從向量空間映射到自身的變換（T:V→VT: V \to V）
定義域 (Domain)輸入集合 VV
對應域 (Codomain)輸出所屬的集合 WW
值域 (Range / Image)所有實際輸出的集合 {T(v)∣v∈V}\{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V\}

線性變換的定義 (Definition of Linear Transformation)​

並非所有變換都值得特別研究。線性代數關注的是那些「保持結構」的變換——也就是線性變換。

定義​

設 VV 和 WW 是向量空間，一個變換 T:V→WT: V \to W 稱為線性變換 (Linear Transformation)，若且唯若對於所有 u,v∈V\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V 和所有純量 cc，滿足以下兩個條件：

(i) 加法保持性：T(u+v)=T(u)+T(v)(ii) 純量乘法保持性：T(cu)=cT(u)\boxed{ \begin{aligned} &\text{(i) 加法保持性：} && T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \\[0.5em] &\text{(ii) 純量乘法保持性：} && T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \end{aligned} }

這兩個條件可以合併為一個等價條件：

T(c1u+c2v)=c1T(u)+c2T(v)\colorbox{yellow}{$T(c_1\mathbf{u} + c_2\mathbf{v}) = c_1T(\mathbf{u}) + c_2T(\mathbf{v})$}

更一般地，線性變換保持線性組合 (Linear Combination)：

T(c1v1+c2v2+⋯+ckvk)=c1T(v1)+c2T(v2)+⋯+ckT(vk)T(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k) = c_1T(\mathbf{v}_1) + c_2T(\mathbf{v}_2) + \cdots + c_kT(\mathbf{v}_k)

重要性質​

從定義可以直接推導出線性變換的一個關鍵性質：

T(0)=0\colorbox{yellow}{$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$}

證明：T(0)=T(0⋅v)=0⋅T(v)=0T(\mathbf{0}) = T(0 \cdot \mathbf{v}) = 0 \cdot T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}。 □\square

判斷線性變換的快速方法

這個性質提供了一個快速排除法：如果 T(0)≠0T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}，那麼 TT 一定不是線性變換！

舉例來說，考慮 T(x)=2x+3T(x) = 2x + 3：

  • T(0)=2(0)+3=3≠0T(0) = 2(0) + 3 = 3 \neq 0

因此 T(x)=2x+3T(x) = 2x + 3 不是線性變換。這是因為它包含了一個常數項 +3+3，使得原點不再映射到原點。

記憶口訣：「線性必過原點」。只要有任何「平移」成分（如 +3+3），就不可能是線性變換。


線性變換的範例 (Examples of Linear Transformations)​

範例 1：零變換 (Zero Transformation)​

定義 T0:V→WT_0: V \to W，T0(v)=0T_0(\mathbf{v}) = \mathbf{0}（對所有 v∈V\mathbf{v} \in V）。

這是一個線性變換，因為對任意 u,v∈V\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V 和純量 cc：

  • T0(u+v)=0=0+0=T0(u)+T0(v)T_0(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = T_0(\mathbf{u}) + T_0(\mathbf{v}) ✓
  • T0(cu)=0=c⋅0=cT0(u)T_0(c\mathbf{u}) = \mathbf{0} = c \cdot \mathbf{0} = cT_0(\mathbf{u}) ✓

範例 2：恆等變換 (Identity Transformation)​

定義 I:V→VI: V \to V，I(v)=vI(\mathbf{v}) = \mathbf{v}（對所有 v∈V\mathbf{v} \in V）。

這也是一個線性變換：

  • I(u+v)=u+v=I(u)+I(v)I(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{u} + \mathbf{v} = I(\mathbf{u}) + I(\mathbf{v}) ✓
  • I(cu)=cu=cI(u)I(c\mathbf{u}) = c\mathbf{u} = cI(\mathbf{u}) ✓

範例 3：純量乘法變換​

定義 Tk:V→VT_k: V \to V，Tk(v)=kvT_k(\mathbf{v}) = k\mathbf{v}，其中 kk 是固定純量。

  • Tk(u+v)=k(u+v)=ku+kv=Tk(u)+Tk(v)T_k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v} = T_k(\mathbf{u}) + T_k(\mathbf{v}) ✓
  • Tk(cu)=k(cu)=c(ku)=cTk(u)T_k(c\mathbf{u}) = k(c\mathbf{u}) = c(k\mathbf{u}) = cT_k(\mathbf{u}) ✓

範例 4：矩陣變換 (Matrix Transformation)​

給定一個 m×nm \times n 矩陣 AA，定義 TA:Rn→RmT_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m，TA(x)=AxT_A(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}。

由矩陣乘法的性質：

  • TA(u+v)=A(u+v)=Au+Av=TA(u)+TA(v)T_A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = T_A(\mathbf{u}) + T_A(\mathbf{v}) ✓
  • TA(cu)=A(cu)=cAu=cTA(u)T_A(c\mathbf{u}) = A(c\mathbf{u}) = cA\mathbf{u} = cT_A(\mathbf{u}) ✓

這是本章最重要的範例——每個矩陣都自然地定義了一個線性變換！


矩陣變換的幾何意義 (Geometric Interpretation of Matrix Transformations)​

既然知道每個線性變換 TT 都對應一個標準矩陣 AA，我們就可以透過觀察矩陣 AA 的樣子，來推斷這個變換的幾何行為。

以下展示幾種常見的 R2\mathbb{R}^2 線性變換與其對應的標準矩陣：

縮放變換 (Scaling)​

矩陣 A=[sx00sy]A = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} 會將向量沿 xx 軸和 yy 軸分別縮放 sxs_x 和 sys_y 倍。

Scaling Transformation

旋轉變換 (Rotation)​

矩陣 Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} 會將向量繞原點逆時針旋轉 θ\theta 角度。

Rotation Transformation

反射變換 (Reflection)​

矩陣 [100−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} 會將向量相對於 xx 軸反射（即上下翻轉）。

Reflection Transformation

剪切變換 (Shear)​

矩陣 [1k01]\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 會沿 xx 方向進行剪切變換。

Shear Transformation

下圖以動態方式展示一個單位正方形在不同線性變換下的形變過程。注意到格線保持平行且等距，這正是線性變換的幾何特徵：直線保持為直線，原點保持不動，且平行線仍保持平行。


標準矩陣 (Standard Matrix)​

什麼是標準矩陣？​

前面提到線性變換 TT 是一個抽象的函數規則（例如「逆時針旋轉 45 度」）。為了方便計算，我們需要一個具體的數學工具——矩陣。

事實上，每一個線性變換 TT 都有一個唯一的矩陣 AA 與之對應，使得：

T(x)=AxT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}

這個矩陣 AA 就稱為 TT 的標準矩陣 (Standard Matrix)。

如何建構標準矩陣？​

找標準矩陣的方法非常簡單：我們只需要知道 「標準基底向量」變換後去了哪裡。在數學上，變換後的結果 T(x)T(\mathbf{x}) 稱為 x\mathbf{x} 在 TT 作用下的 像 (Image)。

具體步驟（以 R2\mathbb{R}^2 為例）：

  1. 準備基底：拿出 e1=[10]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} 和 e2=[01]\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}。
  2. 執行變換：找出它們的像 T(e1)T(\mathbf{e}_1) 和 T(e2)T(\mathbf{e}_2)。
  3. 填入矩陣：將這些像向量依序填入矩陣的行 (Column)。
A=[T(e1)  ∣  T(e2)  ∣  …  ∣  T(en)]\colorbox{yellow}{$A = \Big[ T(\mathbf{e}_1) \ \ \big| \ \ T(\mathbf{e}_2) \ \ \big| \ \ \dots \ \ \big| \ \ T(\mathbf{e}_n) \Big]$}
原理：為什麼只看基底就夠了？

你可能會好奇，為什麼只看 e1,e2\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 就知道所有向量 x\mathbf{x} 的變換結果？

這是因為任何向量 x=[x1x2]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} 都可以寫成基底的組合：x=x1e1+x2e2\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2。如果 TT 是線性的，則：

T(x)=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)T(\mathbf{x}) = T(x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2) = x_1 \colorbox{yellow}{$T(\mathbf{e}_1)$} + x_2 \colorbox{yellow}{$T(\mathbf{e}_2)$}

這正好就是矩陣乘法 AxA\mathbf{x} 的定義！所以，只要掌握了基底的像，我們就掌握了一切。

圖解建構過程​

下圖展示了如何透過觀察基底向量的變化來「組裝」出標準矩陣 AA。

標準矩陣建構過程

核心觀念：行向量的意義

矩陣 AA 的第 jj 行 (Column)，其實就是第 jj 個標準基底向量 ej\mathbf{e}_j 經過變換後的結果 T(ej)T(\mathbf{e}_j)。

經典範例集錦 (Classic Examples)​

這裡我們透過幾個經典範例，來熟悉如何建構標準矩陣。

範例 1：投影變換 (Projection)​

題目：設 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 是「投影到 X 軸」的線性變換。求其標準矩陣 AA。

解：

  1. e1=(1,0)\mathbf{e}_1 = (1, 0) 在 X 軸上，投影後不變 ⇒T(e1)=[10]\Rightarrow T(\mathbf{e}_1) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
  2. e2=(0,1)\mathbf{e}_2 = (0, 1) 在 Y 軸上，投影到 X 軸變原點 ⇒T(e2)=[00]\Rightarrow T(\mathbf{e}_2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
A=[1000]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

現在若想知道 x=(3,5)\mathbf{x} = (3, 5) 投影後的結果，直接計算 Ax=[1000][35]=[30]A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}，結果正確（Y 分量被消除了）。

範例 2：已知線性轉換在兩個向量上的值，求其他向量的像​

題目：設 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 為一線性轉換，且已知

T[11]=[23],T[1−1]=[4−1].T\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad T\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix}.

請回答下列問題：

  1. 求 T([33])T\left(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}\right)
  2. 求 T([10])T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) 與 T([01])T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)

解：

(1) 求 T([33])T\left(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}\right)

觀察向量關係：

[33]=3[11]\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

因為 TT 是線性轉換，滿足齊次性 (Scalar Multiplication)：T(cv)=cT(v)T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})。因此：

T([33])=T(3[11])=3T([11])=3[23]=[69]T\left(\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}\right) = T\left(3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = 3T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = 3\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \end{bmatrix}

(2) 求 T([10])T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right)

先將 [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} 表成已知向量的線性組合：

[10]=12[11]+12[1−1]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

利用線性轉換的可加性 (Additivity) 與齊次性：

T([10])=12T([11])+12T([1−1])=12[23]+12[4−1]=[31]T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2}T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) + \frac{1}{2}T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}

(3) 求 T([01])T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)

同樣先做向量分解：

[01]=12[11]−12[1−1]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

因此：

T([01])=12T([11])−12T([1−1])=12[23]−12[4−1]=[−12]T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2}T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) - \frac{1}{2}T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

範例 3：由基底向量求一般向量的線性轉換​

題目：承上題，已知：

T([10])=[31],T([01])=[−12]T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

求任意向量 x=[x1x2]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} 在轉換 TT 下的結果。

解：

任意向量都可以用標準基底表示：

[x1x2]=x1[10]+x2[01]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

利用線性轉換性質：

T([x1x2])=x1T([10])+x2T([01])=x1[31]+x2[−12]=[3x1−x2x1+2x2]\begin{aligned} T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) &= x_1 T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) + x_2 T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) \\[0.5em] &= x_1\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \end{aligned}

也可寫成矩陣形式：

T(x)=[3−112][x1x2]\colorbox{yellow}{$T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$}

範例 4：驗證一個轉換是否為線性轉換​

題目：定義轉換 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 為

T([x1x2])=[2x1−x2x1]T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 \end{bmatrix}

請證明 TT 是線性轉換。

解：

(1) 驗證可加性

令 u=[u1u2]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}，v=[v1v2]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}。計算：

T(u+v)=T([u1+v1u2+v2])=[2(u1+v1)−(u2+v2)u1+v1]T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\left(\begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) \\ u_1 + v_1 \end{bmatrix}

另一方面：

T(u)+T(v)=[2u1−u2u1]+[2v1−v2v1]=[2(u1+v1)−(u2+v2)u1+v1]T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2u_1 - u_2 \\ u_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2v_1 - v_2 \\ v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) \\ u_1 + v_1 \end{bmatrix}

兩者相等，故滿足可加性。✓

(2) 驗證齊次性

令 cc 為任意純量：

T(cu)=T([cu1cu2])=[2cu1−cu2cu1]=c[2u1−u2u1]=cT(u)T(c\mathbf{u}) = T\left(\begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2cu_1 - cu_2 \\ cu_1 \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2u_1 - u_2 \\ u_1 \end{bmatrix} = cT(\mathbf{u})

故滿足齊次性。✓

結論：TT 同時滿足可加性與齊次性，因此 TT 為線性轉換。

範例 5：將線性轉換表示為矩陣轉換​

題目：承上題，找出矩陣 AA，使得 T(x)=AxT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}。

解：

由定義可直接讀出：

A=[2−110]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

驗證：

A[x1x2]=[2x1−x2x1]=T([x1x2])✓A\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 \end{bmatrix} = T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) \quad \checkmark
重要結論（核心定理）

任何定義在 Rn\mathbb{R}^n 上、值域在 Rm\mathbb{R}^m 的線性轉換，都可以表示為某個矩陣所對應的矩陣轉換。


值域與核 (Range and Kernel)​

對於線性變換，我們關心兩個重要的向量子空間：值域和核。

值域與核的示意圖

上圖展示了線性變換 T:V→WT: V \to W 的結構。定義域 VV 中的 核（橘色區域） 包含所有被映射到零向量的元素；而 值域（綠色區域） 是 WW 中實際被「映射」的子空間。

值域 (Range / Image)​

線性變換 T:V→WT: V \to W 的值域，記作 Range(T)\text{Range}(T) 或 Im(T)\text{Im}(T)，是所有輸出向量的集合：

Range(T)={T(v)∣v∈V}\text{Range}(T) = \{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V\}

值域問的是：「把所有可能的輸入 x\mathbf{x} 都丟進去，輸出能涵蓋哪些向量？」

核 (Kernel / Null Space)​

線性變換 T:V→WT: V \to W 的核 (Kernel)，記作 Ker(T)\text{Ker}(T) 或 Null(T)\text{Null}(T)，是所有被映射到零向量的輸入向量的集合：

Ker(T)={v∈V∣T(v)=0}\colorbox{yellow}{$\text{Ker}(T) = \{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$}
想像 TT 是一台處理機器：
  • 值域：這台機器「能產出什麼」
  • 核：這台機器把「哪些東西磨成零」

對於矩陣變換的特例：

當 TA(x)=AxT_A(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} 時，核就是齊次線性方程組 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解集，即 零空間 (Null Space)。

值域與行空間 (Column Space) 的關係​

這是一個值得深入理解的觀念連結：為什麼矩陣變換的值域恰好等於矩陣各 column vector 的 Span？

讓我們看矩陣乘法的本質。設 A=[a1 a2 … an]A = [\mathbf{a}_1 \ \mathbf{a}_2 \ \dots \ \mathbf{a}_n]，則：

Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnanA\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \dots + x_n\mathbf{a}_n

這說明：每個輸出 T(x)T(\mathbf{x}) 都是矩陣各 column vector 的線性組合！

因此，所有可能的輸出集合（值域），就是所有 column vector 的生成空間（Span）：

Range(T) = Span{Columns of  A} = Col(A)\colorbox{yellow}{\text{Range}(T) = \text{Span}\{\text{Columns of } A\} = \text{Col}(A)}
總結
  • 核 (Kernel) ↔\leftrightarrow 零空間 (Null Space)：解 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}
  • 值域 (Range) ↔\leftrightarrow 行空間 (Column Space)：生成 Span(Cols)\text{Span}(\text{Cols})