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矩陣的反矩陣 (The Inverse of a Matrix)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch2-4 The Inverse of a Matrix。

反矩陣的定義 (Definition of Inverse Matrix)​

在實數系統中，每個非零數 aa 都有一個乘法反元素 a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}，滿足 a⋅a−1=a−1⋅a=1a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1。在矩陣的世界中，我們也會想知道：是否存在一個矩陣能「撤銷」另一個矩陣的效果？

定義​

對於一個 n×nn \times n 的方陣 (Square Matrix) AA，若存在一個 n×nn \times n 矩陣 BB 使得：

AB=BA=In\colorbox{yellow}{$AB = BA = I_n$}

則稱 AA 為可逆的 (Invertible) 或非奇異的 (Nonsingular)，稱 BB 為 AA 的反矩陣 (Inverse Matrix)，記作 A−1A^{-1}。

若不存在這樣的 BB，則稱 AA 為不可逆的 (Non-invertible) 或奇異的 (Singular)。

為何必須是方陣？

反矩陣的定義要求 AB=BA=IAB = BA = I，這意味著 AA 與 BB 的乘法順序可以交換且結果相同。考慮維度：

  • 若 AA 是 m×nm \times n，BB 是 n×mn \times m
  • 則 ABAB 是 m×mm \times m，BABA 是 n×nn \times n

若要 AB=BA=IAB = BA = I，必須 m=nm = n，因此只有方陣才可能有反矩陣。


反矩陣的唯一性 (Uniqueness of Inverse)​

定理：反矩陣若存在則唯一​

若 AA 是可逆矩陣，則其反矩陣 A−1A^{-1} 是唯一的。

證明：假設 BB 和 CC 都是 AA 的反矩陣，即 AB=BA=IAB = BA = I 且 AC=CA=IAC = CA = I。則：

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

因此 B=CB = C，反矩陣唯一。 □\square


補充：2×2 矩陣的反矩陣公式

對於 2×2 矩陣，存在一個簡潔的直接公式。設 A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，若 ad−bc≠0ad - bc \neq 0，則：

A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

其中 ad−bcad - bc 稱為矩陣 AA 的行列式 (Determinant)，記作 det⁡(A)\det(A)。關於行列式的詳細內容將在後續章節介紹。


反矩陣的性質定理 (Properties of Inverse Matrices)​

可逆矩陣具有許多重要的代數性質，這些性質在理論推導和實際計算中都非常有用。

定理：反矩陣的基本性質​

設 AA 和 BB 都是 n×nn \times n 可逆矩陣，cc 是非零純量，則：

性質結論說明
(a)(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A反矩陣的反矩陣是原矩陣
(b)(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}順序反轉！
(c)(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T轉置與求逆可交換
(d)(cA)−1=1cA−1(cA)^{-1} = \dfrac{1}{c}A^{-1}純量提出變倒數

性質 (b) 的推廣​

對於多個可逆矩陣的乘積，反矩陣的順序必須完全反轉：

(A1A2⋯Ak)−1=Ak−1⋯A2−1A1−1\colorbox{yellow}{$(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}$}
穿脫衣服的比喻

我喜歡用「穿脫衣服」來記憶這個性質：

假設你依序穿上 內衣 → 襯衫 → 外套，要脫掉時必須反過來：外套 → 襯衫 → 內衣。

同理，若 A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 是依序作用的矩陣（越後面越「外層」），要「撤銷」這些操作時，必須從最外層開始，依序 A3−1,A2−1,A1−1A_3^{-1}, A_2^{-1}, A_1^{-1}。

這也解釋了為什麼 (AB)−1≠A−1B−1(AB)^{-1} \neq A^{-1}B^{-1}！

性質 (b) 的證明​

要證明 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，只需驗證 (B−1A−1)(AB)=I(B^{-1}A^{-1})(AB) = I：

(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I  ✓(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I \;\checkmark

同理可驗證 (AB)(B−1A−1)=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I。 □\square


反矩陣的冪次 (Powers of Invertible Matrices)​

定義​

設 AA 為可逆矩陣，定義 AA 的負整數冪次為：

A−n=(A−1)n=A−1⋅A−1⋯A−1⏟n 個A^{-n} = (A^{-1})^n = \underbrace{A^{-1} \cdot A^{-1} \cdots A^{-1}}_{n \text{ 個}}

指數律 (Laws of Exponents)​

對於可逆矩陣 AA 和任意整數 m,nm, n，下列指數律成立：

AmAn=Am+n,(Am)n=AmnA^m A^n = A^{m+n}, \quad (A^m)^n = A^{mn}
注意事項

矩陣乘法不具交換性，因此一般而言： (AB)n≠AnBn(AB)^n \neq A^n B^n

只有當 AB=BAAB = BA（即 AA 和 BB 可交換）時，上式才成立。


使用 Gauss-Jordan 方法求反矩陣 (Gauss-Jordan Method for Finding Inverses)​

對於一般的 n×nn \times n 可逆矩陣，我們可以使用 Gauss-Jordan 消去法系統性地計算其反矩陣。

方法原理​

核心想法來自上一篇的觀念 PA=RPA = R：若 AA 可逆，則其 RREF 必為單位矩陣 II，即存在可逆矩陣 PP 使得：

PA=IPA = I

比較 AA−1=IAA^{-1} = I，可知 P=A−1P = A^{-1}！

因此，如果我們能找到把 AA 化簡為 II 的那個矩陣 PP，就找到了 A−1A^{-1}。

為何 RREF 必為 II？

從消去法的角度來看：若 AA 可逆，代表該矩陣沒有「多餘」的資訊，消去後每一列都必須能產生一個主元 (Pivot)。對於 n×nn \times n 的方陣，如果每一列都有主元，化簡到最簡形式 (RREF) 就必定是單位矩陣 InI_n。

演算法步驟​

Gauss-Jordan 反矩陣演算法：

  1. 建構增廣矩陣 [A∣In][A \mid I_n]
  2. 使用基本列運算將左邊的 AA 化簡為 InI_n
  3. 當左邊變成 InI_n 時，右邊自動變成 A−1A^{-1}
[A∣I]→列運算[I∣A−1][A \mid I] \xrightarrow{\text{列運算}} [I \mid A^{-1}]

Gauss-Jordan 求反矩陣示意圖

上圖以動態方式展示了 Gauss-Jordan 方法如何同步作用於增廣矩陣的兩側，當左半部化為單位矩陣時，右半部即為反矩陣。

原理解釋​

為什麼這個方法有效？設化簡 AA 為 II 需要的列運算對應基本矩陣 E1,E2,…,EkE_1, E_2, \ldots, E_k，則：

Ek⋯E2E1A=IE_k \cdots E_2 E_1 A = I

令 P=Ek⋯E2E1P = E_k \cdots E_2 E_1，則 PA=IPA = I，故 P=A−1P = A^{-1}。

同時，這些列運算作用在右半部的 II 上：

Ek⋯E2E1I=P=A−1E_k \cdots E_2 E_1 I = P = A^{-1}

這就是為什麼右半部會變成 A−1A^{-1}！

與上一節的連結

還記得上一節我提到的心得嗎？ PP 是多個 Elementary Matrix 的乘積，而每個 Elementary Matrix 都是可逆的，所以 PP 本身必定可逆。

這裡我們更進一步看到：當 AA 可逆時，PA=IPA = I 意味著 P=A−1P = A^{-1}。也就是說，把 AA 化簡到 II 的過程，本身就在計算 A−1A^{-1}！

範例​

求 A=[1237]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} 的反矩陣。

解：建構增廣矩陣並進行列運算：

[A∣I]=[12103701]→R2−3R1→R2[121001−31]→R1−2R2→R1[107−201−31]\begin{aligned} [A \mid I] &= \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right] \\[1em] &\xrightarrow{R_2 - 3R_1 \to R_2} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right] \\[1em] &\xrightarrow{R_1 - 2R_2 \to R_1} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}

因此 A−1=[7−2−31]A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}。

驗證：AA−1=[1237][7−2−31]=[1001]=I2AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 ✓


判斷矩陣是否可逆 (Determining Invertibility)​

使用 Gauss-Jordan 方法時，我們可以同時判斷矩陣是否可逆：

  • 若化簡過程中左半部能達到 II，則 AA 可逆，右半部即為 A−1A^{-1}
  • 若化簡過程中出現全零列 (Row of Zeros)，則 AA 不可逆

範例：不可逆矩陣​

設 A=[1224]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}，試求 A−1A^{-1}。

解：

[A∣I]=[12102401]→R2−2R1→R2[121000−21][A \mid I] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1 \to R_2} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]

左半部出現全零列，無法化為 II，因此 AA 不可逆。

幾何直覺

為什麼 [1224]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} 不可逆？

注意第二列是第一列的 2 倍，這意味著兩列線性相依 (Linearly Dependent)。

從線性變換的角度看，這個矩陣會把整個 R2\mathbb{R}^2 「壓扁」到一條直線上，資訊在這個過程中遺失了，因此無法「撤銷」這個操作——也就是不可逆。

補充：以反矩陣解線性方程組

當係數矩陣可逆時，線性方程組 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 可以直接用反矩陣求解：x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}。

不過在實務上，對於單一方程組，直接使用 Gauss-Jordan 消去法通常比先求 A−1A^{-1} 再相乘更有效率。反矩陣解法的優勢在於當需要對同一個 AA 解多個不同的 b\mathbf{b} 時，可重複使用預先計算好的 A−1A^{-1}。