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座標系統 (Coordinate Systems)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch4-4 Coordinate Systems。

座標系統的幾何意義​

同一向量，不同座標​

在線性代數中，一個關鍵的觀念是：向量本身是不變的幾何物件，但它的「座標」取決於我們選擇的基底。

想像你在地圖上標記一個地點。這個地點的實際位置不會改變，但你可以用不同的方式描述它：

  • 經緯度：(25.0330, 121.5654)
  • 街道地址：台北市信義區信義路五段 7 號
  • 相對位置：距離台北 101 北方 500 公尺

同樣地，在向量空間中，一個向量 v\mathbf{v} 的幾何位置是固定的，但它的座標表示會隨著我們選擇的基底而改變。

下圖展示了同一個向量 v\mathbf{v} 在兩種不同基底下的表示：

同一向量在不同基底下的座標

選對座標系統讓問題變簡單​

選擇適當的座標系統，往往能讓複雜的問題變得簡潔優美。

經典範例：橢圓方程式

考慮一個旋轉的橢圓。在標準座標系 (x,y)(x, y) 下，橢圓的方程式可能是：

ax2+bxy+cy2=1ax^2 + bxy + cy^2 = 1

這個方程式包含 xyxy 交叉項，計算和分析都很複雜。

但如果我們選擇一個旋轉後的座標系 (x′,y′)(x', y')，使新坐標軸與橢圓的主軸對齊，方程式就變成：

(x′)2a2+(y′)2b2=1\frac{(x')^2}{a^2} + \frac{(y')^2}{b^2} = 1

沒有交叉項！這是橢圓的標準形式，簡潔且易於理解。

下圖展示了同一個橢圓在兩種座標系統下的方程式對比：

橢圓在不同座標系統下

核心觀念：選對基底，問題會變簡單

同一個幾何物件（向量、子空間、線性變換），在不同座標系下，方程式會長得不一樣。如果能選擇「對」的基底，原本複雜的問題可能變得非常簡潔。

例如：對角化矩陣、主成分分析（PCA）、解微分方程等應用，本質上都是在尋找「讓問題變簡單」的基底。


座標向量 (Coordinate Vector)​

定義​

設 B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\} 是向量空間 VV 的一組基底 (basis)，則 VV 中任意向量 v\mathbf{v} 可以唯一地表示為：

v=c1b1+c2b2+⋯+cnbn\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n

我們將這組唯一的係數 (c1,c2,…,cn)(c_1, c_2, \ldots, c_n) 稱為 v\mathbf{v} 相對於基底 B\mathcal{B} 的座標向量 (Coordinate Vector)，記作：

[v]B=[c1c2⋮cn]\boxed{[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}}

下圖展示了座標向量的幾何意義：

座標向量的定義

直觀理解

把基底 B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\} 想像成一組新的「座標軸」：

  • v\mathbf{v} 是用原始座標系（標準基底）表示的向量
  • [v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B} 是用新座標系 B\mathcal{B} 表示的向量

座標向量 [v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B} 告訴我們：要沿著 b1\mathbf{b}_1 方向走多少（c1c_1）、沿著 b2\mathbf{b}_2 方向走多少（c2c_2），以此類推，才能到達 v\mathbf{v} 這個點。


計算座標向量​

給定向量 v\mathbf{v} 和基底 B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\}，要找 [v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B}，我們需要解方程：

c1b1+c2b2+⋯+cnbn=vc_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n = \mathbf{v}

將基底向量排成矩陣的 columns：

PB=[b1 b2 ⋯ bn]P_\mathcal{B} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2 \ \cdots \ \mathbf{b}_n]

則上述方程等價於矩陣方程：

PB[c1c2⋮cn]=vP_\mathcal{B} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \mathbf{v}

理論公式​

若 PBP_\mathcal{B} 可逆（當 B\mathcal{B} 是基底時必然可逆），則：

[v]B=PB−1v\colorbox{yellow}{$[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{v}$}

實際計算方法​

在實務上，通常透過以下兩種方式計算：

  1. 使用數值計算工具：直接計算 PB−1vP_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{v}（例如使用 MATLAB、Python NumPy）
  2. 手算時使用 Row Reduction：建立增廣矩陣 [PB ∣ v][P_\mathcal{B} \ | \ \mathbf{v}] 並化為 RREF
    • 優點：不需先顯式計算反矩陣
    • Row Reduction 本質上就是求反矩陣的過程

範例 1：計算座標向量​

設 B={b1=[10],b2=[12]}\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\} 是 R2\mathbb{R}^2 的一組基底。

求向量 v=[46]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} 相對於 B\mathcal{B} 的座標向量 [v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B}。

Solution：

根據公式 [v]B=PB−1v[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{v}，其中：

PB=[b1 b2]=[1102]P_\mathcal{B} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2] = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

步驟 1：計算 PB−1P_\mathcal{B}^{-1}

對於 2×22 \times 2 矩陣 [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，反矩陣為 1ad−bc[d−b−ca]\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}：

PB−1=1(1)(2)−(1)(0)[2−101]=12[2−101]=[1−1/201/2]P_\mathcal{B}^{-1} = \frac{1}{(1)(2)-(1)(0)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}

步驟 2：計算 [v]B=PB−1v[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{v}

[v]B=[1−1/201/2][46]=[4−30+3]=[13][\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 3 \\ 0 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}

因此：

[v]B=[13][\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}

驗證：1⋅[10]+3⋅[12]=[10]+[36]=[46]1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} ✓

幾何意義：下圖展示了 v\mathbf{v} 如何分解為 11 倍的 b1\mathbf{b}_1 加上 33 倍的 b2\mathbf{b}_2：

範例 1：座標向量計算


座標映射 (Coordinate Mapping)​

座標映射的定義與性質​

設 B\mathcal{B} 是 nn 維向量空間 VV 的一組基底。定義座標映射 (Coordinate Mapping)：

ϕB:V→Rn,v↦[v]B\phi_\mathcal{B}: V \to \mathbb{R}^n, \quad \mathbf{v} \mapsto [\mathbf{v}]_\mathcal{B}

這個映射將 VV 中的向量對應到 Rn\mathbb{R}^n 中的座標向量。

重要性質

座標映射具有以下關鍵性質：

  1. One-to-One（一對一）：不同的向量有不同的座標
  2. Onto（映成）：每個座標都對應到某個向量

因此，座標映射是一個雙射 (Bijection)，建立了 VV 和 Rn\mathbb{R}^n 之間的一一對應關係。

這表示我們可以將抽象向量空間 VV 的問題「翻譯」成熟悉的 Rn\mathbb{R}^n 中的問題來處理！

座標映射保持線性結構​

更重要的是，座標映射保持線性運算：

[u+v]B=[u]B+[v]B[cu]B=c[u]B\begin{aligned} [\mathbf{u} + \mathbf{v}]_\mathcal{B} &= [\mathbf{u}]_\mathcal{B} + [\mathbf{v}]_\mathcal{B} \\[6pt] [c\mathbf{u}]_\mathcal{B} &= c[\mathbf{u}]_\mathcal{B} \end{aligned}

證明：設 [u]B=[u1⋮un][\mathbf{u}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}，[v]B=[v1⋮vn][\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}，則：

u=u1b1+⋯+unbn,v=v1b1+⋯+vnbn\mathbf{u} = u_1\mathbf{b}_1 + \cdots + u_n\mathbf{b}_n, \quad \mathbf{v} = v_1\mathbf{b}_1 + \cdots + v_n\mathbf{b}_n

因此：

u+v=(u1+v1)b1+⋯+(un+vn)bn\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1)\mathbf{b}_1 + \cdots + (u_n + v_n)\mathbf{b}_n

所以：

[u+v]B=[u1+v1⋮un+vn]=[u]B+[v]B[\mathbf{u} + \mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix} = [\mathbf{u}]_\mathcal{B} + [\mathbf{v}]_\mathcal{B}

純量乘法的證明類似。∎

這個性質保證了座標映射不僅是一個雙射，更是一個同構 (Isomorphism)——它完全保持了向量空間的結構。

下圖展示了座標映射如何建立 VV 與 Rn\mathbb{R}^n 的對應關係：

座標映射的對應關係


基底轉換矩陣 (Change of Coordinates Matrix)​

問題背景​

假設同一個向量空間 VV 有兩組不同的基底：

  • 基底 B={b1,…,bn}\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}
  • 基底 C={c1,…,cn}\mathcal{C} = \{\mathbf{c}_1, \ldots, \mathbf{c}_n\}

對於 VV 中的同一個向量 v\mathbf{v}，它在兩組基底下會有不同的座標表示：[v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B} 和 [v]C[\mathbf{v}]_\mathcal{C}。

核心問題：如何從 [v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{B} 計算出 [v]C[\mathbf{v}]_\mathcal{C}？

定義​

存在一個矩陣 PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}，使得：

[v]C=PC←B⋅[v]B\boxed{[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{B}}

這個矩陣稱為從 B\mathcal{B} 到 C\mathcal{C} 的基底轉換矩陣 (Change of Coordinates Matrix from B\mathcal{B} to C\mathcal{C})。

記號理解

PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} 的下標「C←B\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}」表示「從 B\mathcal{B} 座標轉換到 C\mathcal{C} 座標」。

箭頭方向指向「目標座標系」。

如何計算基底轉換矩陣​

關鍵觀察：PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} 的 columns 就是 B\mathcal{B} 的基底向量在 C\mathcal{C} 座標下的表示：

PC←B=[[b1]C[b2]C⋯[bn]C]\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = \begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_\mathcal{C} & [\mathbf{b}_2]_\mathcal{C} & \cdots & [\mathbf{b}_n]_\mathcal{C} \end{bmatrix}

直觀理解：要從 B\mathcal{B} 座標轉換到 C\mathcal{C} 座標，我們需要知道 B\mathcal{B} 的每個基底向量在 C\mathcal{C} 中「長什麼樣子」。

範例 2：計算基底轉換矩陣​

設 B={b1=[11],b2=[1−1]}\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\} 和 C={c1=[10],c2=[01]}\mathcal{C} = \left\{ \mathbf{c}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{c}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} 是 R2\mathbb{R}^2 的兩組基底。

（注意 C\mathcal{C} 就是標準基底。）

求 PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}。

Solution：

由於 C\mathcal{C} 是標準基底，[v]C=v[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \mathbf{v}（標準座標就是向量本身）。

因此：

[b1]C=b1=[11],[b2]C=b2=[1−1][\mathbf{b}_1]_\mathcal{C} = \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad [\mathbf{b}_2]_\mathcal{C} = \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

所以：

PC←B=[[b1]C[b2]C]=[111−1]\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = \begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_\mathcal{C} & [\mathbf{b}_2]_\mathcal{C} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

驗證：若 [v]B=[23][\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}，則：

v=2b1+3b2=2[11]+3[1−1]=[5−1]\mathbf{v} = 2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}

用轉換矩陣計算：

[v]C=PC←B⋅[v]B=[111−1][23]=[5−1]✓[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} \quad \checkmark

基底轉換矩陣的性質​

性質 1：轉換矩陣必可逆​

基底轉換矩陣 PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} 必定是可逆矩陣。

理由：座標映射是雙射（One-to-One 且 Onto），因此對應的矩陣必定可逆。

直觀地說，既然能從 B\mathcal{B} 座標轉到 C\mathcal{C} 座標，自然也能反向轉換。

性質 2：反向轉換​

從 C\mathcal{C} 座標轉回 B\mathcal{B} 座標的轉換矩陣，就是原轉換矩陣的反矩陣：

PB←C=(PC←B)−1\colorbox{yellow}{$\underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}{P} = \left(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}\right)^{-1}$}

原因：若 [v]C=PC←B⋅[v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{B}，則：

[v]B=(PC←B)−1⋅[v]C[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \left(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}\right)^{-1} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{C}

這正是從 C\mathcal{C} 轉回 B\mathcal{B} 的轉換，所以反向轉換矩陣就是反矩陣。

性質 3：連鎖轉換​

若有三組基底 B,C,D\mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}，則：

PD←B=PD←C⋅PC←B\underset{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = \underset{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{C}}{P} \cdot \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}

這符合矩陣乘法的結合律，也與「先從 B\mathcal{B} 到 C\mathcal{C}，再從 C\mathcal{C} 到 D\mathcal{D}」的直觀一致。

範例 3：計算反向轉換矩陣​

延續範例 2，計算 PB←C\underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}{P}。

Solution：

PB←C=(PC←B)−1=[111−1]−1\underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}{P} = \left(\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}\right)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{-1}

對於 2×22 \times 2 矩陣 [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，反矩陣為 1ad−bc[d−b−ca]\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}：

PB←C=1(1)(−1)−(1)(1)[−1−1−11]=1−2[−1−1−11]=[1/21/21/2−1/2]\underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}{P} = \frac{1}{(1)(-1)-(1)(1)}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}

驗證：若 [v]C=[5−1][\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}，則：

[v]B=PB←C⋅[v]C=[1/21/21/2−1/2][5−1]=[23]✓[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = \underset{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}{P} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \quad \checkmark

在 R^n 空間中的實用計算方法​

當 V=RnV = \mathbb{R}^n 時，有一個高效的計算方法可以同時求出從 B\mathcal{B} 到 C\mathcal{C} 的轉換矩陣，以及反向轉換矩陣（即從 C\mathcal{C} 到 B\mathcal{B} 的轉換矩陣，其值等於前者的反矩陣）。

設 PBP_\mathcal{B} 和 PCP_\mathcal{C} 分別是由基底 B\mathcal{B} 和 C\mathcal{C} 的向量構成的矩陣（向量排成 columns）：

PB=[b1 b2 ⋯ bn],PC=[c1 c2 ⋯ cn]P_\mathcal{B} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2 \ \cdots \ \mathbf{b}_n], \quad P_\mathcal{C} = [\mathbf{c}_1 \ \mathbf{c}_2 \ \cdots \ \mathbf{c}_n]

則轉換矩陣可以表示為：

PC←B=PC−1PB\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = P_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B}

轉換公式的推導​

根據座標向量的定義：

v=PB[v]B=PC[v]C\mathbf{v} = P_\mathcal{B} [\mathbf{v}]_\mathcal{B} = P_\mathcal{C} [\mathbf{v}]_\mathcal{C}

因此：

PC[v]C=PB[v]BP_\mathcal{C} [\mathbf{v}]_\mathcal{C} = P_\mathcal{B} [\mathbf{v}]_\mathcal{B}

兩邊左乘 PC−1P_\mathcal{C}^{-1}：

[v]C=PC−1PB[v]B[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = P_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B} [\mathbf{v}]_\mathcal{B}

所以 PC←B=PC−1PB\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = P_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B}。

使用 Row Reduction 計算​

使用 Row Reduction 可以避免顯式計算反矩陣：

[PC ∣ PB]→RREF[I ∣ PC←B]\left[ P_\mathcal{C} \ | \ P_\mathcal{B} \right] \xrightarrow{\text{RREF}} \left[ I \ | \ \underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} \right]

原理：對 [PC ∣ PB][P_\mathcal{C} \ | \ P_\mathcal{B}] 做 row reduction 使左邊變成單位矩陣，相當於左乘 PC−1P_\mathcal{C}^{-1}。因此右邊變成 PC−1PBP_\mathcal{C}^{-1} P_\mathcal{B}，正是我們要的轉換矩陣。

範例 4：使用 Row Reduction 計算​

設 B={[12],[35]}\mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \right\} 和 C={[11],[12]}\mathcal{C} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}。

求 PC←B\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P}。

Solution：

PB=[1325],PC=[1112]P_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}, \quad P_\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

建立增廣矩陣並進行 row reduction：

[PC ∣ PB]=[11131225]\left[ P_\mathcal{C} \ | \ P_\mathcal{B} \right] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right] →R2−R1[11130112]→R1−R2[10010112]\xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]

因此：

PC←B=[0112]\underset{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}{P} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}