線性算子的矩陣表示法 (Matrix Representations of Linear Operators)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch4-5 Matrix Representations of Linear Operators。

線性算子 (Linear Operator)

定義

當一個線性變換的定義域 (domain) 和對應域 (codomain) 是同一個向量空間時，這個變換有一個特別的名字：

線性算子 (Linear Operator)：一個從向量空間 $V$ 到自己 $V$ 的線性變換 $T: V \to V$。

常見的線性算子包括：

算子	描述	例子
旋轉 (Rotation)	將向量繞原點旋轉某個角度	$\mathbb{R}^2$ 中繞原點旋轉 $\theta$ 度
反射 (Reflection)	將向量相對於某軸或平面反射	相對於 $x$ 軸的反射
伸縮 (Scaling)	沿各方向放大或縮小	將所有向量放大 2 倍
剪切 (Shear)	沿某方向「傾斜」空間	沿 $x$ 方向的剪切變換
投影 (Projection)	將向量投影到子空間	投影到某平面

算子 vs 變換

雖然「線性算子」是「線性變換」的特例，但「算子」強調的是「在同一個空間內的操作」。

這個區別在實際應用中很重要：因為輸入和輸出在同一空間，我們可以討論「重複作用」（如 $T^2 = T \circ T$）、「特徵值與特徵向量」等概念。

核心問題：如何用矩陣表示線性算子？

回顧：標準矩陣

在 $\mathbb{R}^n$ 中，每個線性變換 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 都可以用一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 來表示：

$$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$$

這個矩陣稱為 $T$ 的標準矩陣 (Standard Matrix)，它的 columns 就是 $T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2), \ldots, T(\mathbf{e}_n)$，其中 $\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ 是標準基底。

新問題

如果我們選擇一個非標準的基底 $\mathcal{B}$，線性算子 $T$ 對應的矩陣會是什麼？

同一個向量在不同基底下有不同的座標表示。同樣地，同一個線性算子在不同基底下也會有不同的矩陣表示。

我們將這個「相對於基底 $\mathcal{B}$ 的矩陣」記作 $[T]_\mathcal{B}$。

建構 [T]_B 的三步驟

讓我們透過一個具體範例，一步步理解如何求出線性算子相對於某個基底的矩陣表示。

範例：反射變換

設 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 是相對於直線 $y = x$ 的反射變換。

$T$ 的標準矩陣為：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

（可驗證：$T\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，$T\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$）

設 $\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的另一組基底。

目標：求 $[T]_\mathcal{B}$。

下圖展示了這個範例的幾何意義與三步驟的計算結果：

Step 1：在原座標系做變換

首先，計算 $T$ 對基底向量 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2$ 的作用（這裡的輸入輸出都是標準座標）：

$$T(\mathbf{b}_1) = A \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$T(\mathbf{b}_2) = A \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

幾何理解：

• $\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 在直線 $y=x$ 上，反射後不動：$T(\mathbf{b}_1) = \mathbf{b}_1$
• $\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 垂直於直線 $y=x$，反射後方向相反：$T(\mathbf{b}_2) = -\mathbf{b}_2$

Step 2：把 T(b_i) 轉成 B 座標

現在我們需要把 $T(\mathbf{b}_1)$ 和 $T(\mathbf{b}_2)$ 表示成 $\mathcal{B}$ 座標。

回顧座標向量的公式：

$$\colorbox{yellow}{$[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} \mathbf{v}$}$$

其中 $P_\mathcal{B} = [\mathbf{b}_1 \ \mathbf{b}_2] = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ 稱為基底矩陣。

計算 $P_\mathcal{B}^{-1}$：

$$P_\mathcal{B}^{-1} = \frac{1}{(1)(-1) - (1)(1)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}$$

將 $T(\mathbf{b}_1)$ 和 $T(\mathbf{b}_2)$ 轉換成 $\mathcal{B}$ 座標：

$$[T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} T(\mathbf{b}_1) = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$[T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} T(\mathbf{b}_2) = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$

驗證：

• $[T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 表示 $T(\mathbf{b}_1) = 1 \cdot \mathbf{b}_1 + 0 \cdot \mathbf{b}_2 = \mathbf{b}_1$ ✓
• $[T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ 表示 $T(\mathbf{b}_2) = 0 \cdot \mathbf{b}_1 + (-1) \cdot \mathbf{b}_2 = -\mathbf{b}_2$ ✓

Step 3：排成矩陣 [T]_B

將上面得到的座標向量作為 columns 排列，就得到 $[T]_\mathcal{B}$：

$$\boxed{[T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$$

驚人的結果！

在基底 $\mathcal{B}$ 下，反射變換的矩陣表示竟然是對角矩陣！

這比標準矩陣 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 簡潔多了。

對角線上的 $1$ 和 $-1$ 直接告訴我們：

• 沿 $\mathbf{b}_1$ 方向不變（乘以 1）
• 沿 $\mathbf{b}_2$ 方向反向（乘以 -1）

這就是「選對基底讓問題變簡單」的威力！

歸納公式：如何計算 [T]_B

從上面的範例，我們可以歸納出計算 $[T]_\mathcal{B}$ 的一般步驟：

三步驟方法

設 $T: V \to V$ 是線性算子，$\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}$ 是基底，$A$ 是 $T$ 的標準矩陣。

步驟	操作	說明
Step 1	計算 $T(\mathbf{b}_i) = A \mathbf{b}_i$	在標準座標下做變換
Step 2	計算 $[T(\mathbf{b}_i)]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} T(\mathbf{b}_i)$	把結果轉成 $\mathcal{B}$ 座標
Step 3	排成矩陣 $[T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathcal{B} \end{bmatrix}$	座標向量作為 columns

如何使用 [T]_B

上面我們學會了如何建構 $[T]_\mathcal{B}$（用基底向量的輸出來建立矩陣）。

現在來看如何使用 $[T]_\mathcal{B}$（用這個矩陣來變換任意向量）。

核心公式

一旦有了 $[T]_\mathcal{B}$，對於任意向量 $\mathbf{v} \in V$，我們可以這樣計算 $T(\mathbf{v})$ 的 $\mathcal{B}$ 座標：

$$\colorbox{yellow}{$[T(\mathbf{v})]_\mathcal{B} = [T]_\mathcal{B} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{B}$}$$

符號釐清

符號	意義	類型
$[T]_\mathcal{B}$	$T$ 相對於基底 $\mathcal{B}$ 的矩陣表示	$n \times n$ 矩陣（變換用的工具）
$[\mathbf{v}]_\mathcal{B}$	$\mathbf{v}$ 在基底 $\mathcal{B}$ 下的座標向量	$n \times 1$ 向量（輸入）
$[T(\mathbf{v})]_\mathcal{B}$	$T(\mathbf{v})$ 在基底 $\mathcal{B}$ 下的座標向量	$n \times 1$ 向量（輸出）

白話解讀：「$T(\mathbf{v})$ 的 $\mathcal{B}$ 座標」等於「$T$ 的 $\mathcal{B}$ 矩陣」乘以「$\mathbf{v}$ 的 $\mathcal{B}$ 座標」。

[T]_B 的本質

$[T]_\mathcal{B}$ 就是「直接在 $\mathcal{B}$ 座標系裡做 $T$ 的運算」。

• 輸入：$[\mathbf{v}]_\mathcal{B}$（$\mathbf{v}$ 的 $\mathcal{B}$ 座標）
• 輸出：$[T(\mathbf{v})]_\mathcal{B}$（$T(\mathbf{v})$ 的 $\mathcal{B}$ 座標）
• 過程：乘以矩陣 $[T]_\mathcal{B}$

整個運算都在 $\mathcal{B}$ 座標系裡完成，不需要回到標準座標！

公式推導：[T]_B = B^(-1) A B

觀察計算過程

回顧上面的範例，我們做了什麼：

$$[T(\mathbf{b}_i)]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} \cdot T(\mathbf{b}_i) = P_\mathcal{B}^{-1} \cdot A \cdot \mathbf{b}_i$$

將所有 $i$ 合起來考慮（把基底向量排成矩陣 $P_\mathcal{B}$）：

$$[T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathcal{B} \end{bmatrix} = P_\mathcal{B}^{-1} A \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix}$$

因為 $\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} = P_\mathcal{B}$，我們得到：

$$\boxed{[T]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} A P_\mathcal{B}}$$

或者用更簡潔的記號（設 $B = P_\mathcal{B}$）：

$$\colorbox{yellow}{$[T]_\mathcal{B} = B^{-1} A B$}$$

驗證範例的公式

讓我們用公式驗證之前的結果：

$$B = P_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad B^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$[T]_\mathcal{B} = B^{-1} A B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

先算 $AB$：

$$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

再算 $B^{-1}(AB)$：

$$B^{-1} A B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \checkmark$$

與前面三步驟方法得到的結果一致！

反向公式

從 $[T]_\mathcal{B} = B^{-1} A B$，我們也可以反推：

$$A = B \cdot [T]_\mathcal{B} \cdot B^{-1}$$

這告訴我們：已知某個基底下的矩陣表示 $[T]_\mathcal{B}$，可以還原出標準矩陣 $A$。

相似矩陣 (Similar Matrices)

定義

若存在可逆矩陣 $P$ 使得：

$$B = P^{-1} A P$$

則稱矩陣 $A$ 和 $B$ 是相似的 (Similar)，記作 $A \sim B$。

相似矩陣的幾何意義

從我們的推導可知：

相似矩陣代表同一個線性算子在不同基底下的表示。

• $A$ 是算子 $T$ 的標準矩陣
• $[T]_\mathcal{B} = B^{-1}AB$ 是 $T$ 相對於基底 $\mathcal{B}$ 的矩陣
• 它們是相似的，因為它們描述的是同一個變換，只是「觀察角度」（基底）不同

相似矩陣的性質

既然相似矩陣代表同一個變換，它們共享許多重要的代數性質：

性質	說明
行列式	$\det(A) = \det(B)$
跡 (Trace)	$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$
秩 (Rank)	$\text{rank}(A) = \text{rank}(B)$
特徵值	$A$ 和 $B$ 有相同的特徵值
可逆性	$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $B$ 可逆

對角化的預告

尋找「好」的基底，使得線性算子的矩陣表示盡可能簡單（例如對角矩陣），是線性代數的核心課題之一。

這就是對角化 (Diagonalization) 的目標——找到一組基底使得 $[T]_\mathcal{B}$ 是對角矩陣。

在反射變換的例子中，我們恰好選到了讓 $[T]_\mathcal{B}$ 成為對角矩陣的基底！

知道基底的輸出，就知道整個變換

現在我們有了 $[T]_\mathcal{B} = B^{-1}AB$ 這個公式，可以討論一個更深刻的問題：

核心問題

假設變換 $T$ 是未知的，但我們知道 $T$ 把某幾個向量送到哪裡：

$$T(\mathbf{b}_1) = \mathbf{u}_1, \quad T(\mathbf{b}_2) = \mathbf{u}_2, \quad T(\mathbf{b}_3) = \mathbf{u}_3$$

我們能不能完全確定這個變換 $T$？

答案是 Yes，但有一個關鍵前提：

$\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\}$ 必須是一組 基底 (Basis)。

為什麼？

因為基底是空間的「骨架」。知道骨架（基底向量）去哪裡了，整個空間的其他向量也會跟著「線性地」移動。

具體來說：任何向量 $\mathbf{v}$ 都可以表示為基底的線性組合 $\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + c_3\mathbf{b}_3$。

既然 $T$ 是線性的：

$$T(\mathbf{v}) = c_1 T(\mathbf{b}_1) + c_2 T(\mathbf{b}_2) + c_3 T(\mathbf{b}_3) = c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + c_3 \mathbf{u}_3$$

所以，只要輸入是基底，這個變換 $T$ 就被「鎖死」了——只有一種可能性。

範例：從基底的輸出反求變換矩陣

設 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 是一個未知的線性算子，$\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \right\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一組基底。

已知：

$$T(\mathbf{b}_1) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T(\mathbf{b}_2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$

目標：求 $T$ 的標準矩陣 $A$。

Solution：

步驟 1：先求 $[T]_\mathcal{B}$

把 $T(\mathbf{b}_1)$ 和 $T(\mathbf{b}_2)$ 轉成 $\mathcal{B}$ 座標：

$$B = P_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$$

計算 $B^{-1}$（使用 $2 \times 2$ 反矩陣公式）：

$$B^{-1} = \frac{1}{(1)(5) - (3)(2)} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$ $$[T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} = B^{-1} T(\mathbf{b}_1) = \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 3 \end{bmatrix}$$ $$[T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B} = B^{-1} T(\mathbf{b}_2) = \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -3 \end{bmatrix}$$

所以：

$$[T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} -7 & 9 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}$$

步驟 2：用反向公式求標準矩陣 A

$$A = B \cdot [T]_\mathcal{B} \cdot B^{-1}$$

先算 $B \cdot [T]_\mathcal{B}$：

$$B \cdot [T]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & 9 \\ 3 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7+9 & 9-9 \\ -14+15 & 18-15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

再乘 $B^{-1}$：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 6 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

驗證：檢查 $A \mathbf{b}_1 = T(\mathbf{b}_1)$：

$$A \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} -10 & 6 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 + 12 \\ 1 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = T(\mathbf{b}_1) \quad \checkmark$$

範例：計算 [T]_B（非標準基底）

設 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 是線性算子，其標準矩陣為：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

設 $\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

求 $[T]_\mathcal{B}$。

Solution：

使用公式 $[T]_\mathcal{B} = B^{-1} A B$。

步驟 1：寫出基底矩陣 B

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

步驟 2：計算 B^-1

由於 $B$ 是上三角矩陣，可以用 row reduction 或觀察法求逆。

$$B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

（可驗證 $B B^{-1} = I$）

步驟 3：計算 AB

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

步驟 4：計算 B^-1(AB)

$$[T]_\mathcal{B} = B^{-1} A B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} 1-0 & 3-1 & 3-2 \\ 0-1 & 1-1 & 2-2 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$