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特徵多項式 (The Characteristic Polynomial)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch5-2 The Characteristic Polynomial。

前言：深入特徵多項式的結構​

在上一節中，我們學會了如何透過特徵多項式 p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I) 來求解矩陣的特徵值。本節將更深入地探討特徵多項式的結構與性質，並建立兩個重要概念：代數重根數 (Algebraic Multiplicity) 與 幾何重根數 (Geometric Multiplicity)。


特徵多項式的形式​

基本結構​

對於 n×nn \times n 矩陣 AA，其特徵多項式是一個 nn 次多項式：

p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)

展開後具有以下形式：

p(λ)=(−1)nλn+(−1)n−1(trA)λn−1+⋯+det⁡(A)\colorbox{yellow}{$p(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1}(\text{tr}A)\lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$}

其中：

  • 最高次項的係數為 (−1)n(-1)^n
  • 次高次項的係數與矩陣的跡 (Trace) 相關
  • 常數項等於矩陣的行列式 (Determinant)

因式分解形式​

由代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)，任何 nn 次多項式在複數範圍內可以完全因式分解為 nn 個一次因式的乘積：

p(λ)=(−1)n(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n)

其中 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n 是特徵多項式的根（可能有重複）。

當某些根重複出現時，我們可以將其寫成：

p(λ)=(−1)n(λ−λ1)m1(λ−λ2)m2⋯(λ−λk)mk\colorbox{lightblue}{$p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)^{m_1} (\lambda - \lambda_2)^{m_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{m_k}$}

其中 λ1,λ2,…,λk\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k 是相異的特徵值，而 m1+m2+⋯+mk=nm_1 + m_2 + \cdots + m_k = n。


代數重根數 (Algebraic Multiplicity)​

定義​

特徵值 λi\lambda_i 的代數重根數 (Algebraic Multiplicity)，記作 am(λi)\text{am}(\lambda_i)，是指 (λ−λi)(\lambda - \lambda_i) 在特徵多項式的因式分解中出現的次數。換言之，就是 λi\lambda_i 作為特徵方程式的根的重數。

am(λi)=mi（根的重數）\colorbox{yellow}{$\text{am}(\lambda_i) = m_i \quad \text{（根的重數）}$}

範例：計算代數重根數​

考慮矩陣 AA 的特徵多項式為：

p(λ)=−(λ−3)2(λ+1)(λ−5)p(\lambda) = -(\lambda - 3)^2 (\lambda + 1)(\lambda - 5)

此矩陣有三個相異特徵值：

  • λ1=3\lambda_1 = 3，代數重根數 am(3)=2\text{am}(3) = 2
  • λ2=−1\lambda_2 = -1，代數重根數 am(−1)=1\text{am}(-1) = 1
  • λ3=5\lambda_3 = 5，代數重根數 am(5)=1\text{am}(5) = 1

總和 2+1+1=42 + 1 + 1 = 4，因此這是一個 4×44 \times 4 矩陣。

代數重根數示意圖


幾何重根數 (Geometric Multiplicity)​

定義​

特徵值 λi\lambda_i 的幾何重根數 (Geometric Multiplicity)，記作 gm(λi)\text{gm}(\lambda_i)，是指其特徵空間 EλiE_{\lambda_i} 的維度：

gm(λi)=dim⁡(Eλi)=dim⁡(Null(A−λiI))\colorbox{yellow}{$\text{gm}(\lambda_i) = \dim(E_{\lambda_i}) = \dim(\text{Null}(A - \lambda_i I))$}

幾何重根數告訴我們：對於特徵值 λi\lambda_i，我們能找到多少個線性獨立的特徵向量。

幾何重根數的計算​

要計算 gm(λ)\text{gm}(\lambda)，步驟如下：

  1. 計算矩陣 (A−λI)(A - \lambda I)
  2. 將 (A−λI)(A - \lambda I) 化為 RREF（簡化階梯形）
  3. 計算 nullity(A−λI)=n−rank(A−λI)\text{nullity}(A - \lambda I) = n - \text{rank}(A - \lambda I)

範例：計算幾何重根數​

設 A=[50005014−3]A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}，已知 λ=5\lambda = 5 是 AA 的特徵值。

計算 A−5IA - 5I：

A−5I=[00000014−8]A - 5I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -8 \end{bmatrix}

這個矩陣的 rank 為 1（只有一個非零 Row），因此：

gm(5)=nullity(A−5I)=3−1=2\text{gm}(5) = \text{nullity}(A - 5I) = 3 - 1 = 2

因此我們可以找到 2 個線性獨立的特徵向量對應於 λ=5\lambda = 5。


代數重根數與幾何重根數的關係​

核心不等式​

對於任何特徵值 λ\lambda，代數重根數與幾何重根數之間存在一個關鍵不等式：

1≤gm(λ)≤am(λ)\colorbox{yellow}{$1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda)$}

這個不等式有三個重要意涵：

  1. 下界為 1：既然 λ\lambda 是特徵值，就至少存在一個非零特徵向量，因此 gm(λ)≥1\text{gm}(\lambda) \geq 1
  2. 上界為代數重根數：幾何重根數不會超過代數重根數
  3. 可能不相等：gm(λ)\text{gm}(\lambda) 可能嚴格小於 am(λ)\text{am}(\lambda)

代數與幾何重根數的關係

重數與維度的直覺理解

為什麼 am(λ)=1\text{am}(\lambda) = 1 時，gm(λ)\text{gm}(\lambda) 一定等於 1？

這是因為不等式 1≤gm(λ)≤am(λ)1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda) 在 am(λ)=1\text{am}(\lambda) = 1 時變成：

1≤gm(λ)≤11 \leq \text{gm}(\lambda) \leq 1

左右都被「夾住」了，所以 gm(λ)\text{gm}(\lambda) 只能等於 1。換句話說：單根的特徵值，其特徵空間必為一維（恰好是一條線）。

為什麼 am(λ)=k\text{am}(\lambda) = k 時，gm(λ)\text{gm}(\lambda) 不一定等於 kk？

這是因為不等式只給出上界，並沒有強迫相等。從線性代數的角度來看：

  • 代數重根數反映的是多項式根的重數（純代數性質）
  • 幾何重根數反映的是 Null Space 的維度（線性方程組的解空間結構）

這兩者來自不同的數學層面，所以不一定相等。當矩陣「不夠好」時（例如虧缺矩陣 (Defective Matrix)），就會出現 gm(λ)<am(λ)\text{gm}(\lambda) < \text{am}(\lambda) 的情況。

範例：幾何重根數小於代數重根數​

考慮矩陣：

A=[2102]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Step 1：計算特徵多項式

det⁡(A−λI)=det⁡[2−λ102−λ]=(2−λ)2=0\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (2 - \lambda)^2 = 0

因此 λ=2\lambda = 2 是唯一特徵值，且 am(2)=2\text{am}(2) = 2（二重根）。

Step 2：計算幾何重複度

A−2I=[0100]A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

此矩陣的 rank 為 1，因此：

gm(2)=2−1=1\text{gm}(2) = 2 - 1 = 1

所以 gm(2)=1<2=am(2)\text{gm}(2) = 1 < 2 = \text{am}(2)。

雖然 λ=2\lambda = 2 是二重根，但我們只能找到 1 個線性獨立的特徵向量，特徵空間只是一條線而非一個平面。

這對對角化的影響

這個矩陣無法對角化！因為我們需要 2 個線性獨立的特徵向量來形成對角化的基底，但只能找到 1 個。這種矩陣稱為虧缺矩陣 (Defective Matrix)。

關於對角化的詳細條件與應用，將在下個章節深入探討。


相似矩陣 (Similar Matrices)​

定義​

設 AA 和 BB 都是 n×nn \times n 矩陣。若存在一個可逆矩陣 PP 使得：

B=P−1AP\colorbox{yellow}{$B = P^{-1}AP$}

則稱 AA 與 BB 是相似的 (Similar)，記作 A∼BA \sim B。

複習相似矩陣

關於相似矩陣的基本概念與幾何意義，請參考 Ch4-5 線性算子的矩陣表示法。

相似性的幾何意義​

從線性變換的角度來看，相似矩陣代表同一個線性變換在不同基底下的矩陣表示。

設線性變換 T:V→VT: V \to V：

  • 在基底 β\beta 下的矩陣表示為 [T]β=A[T]_\beta = A
  • 在基底 γ\gamma 下的矩陣表示為 [T]γ=B[T]_\gamma = B

則 AA 與 BB 相似，其中 PP 是從 γ\gamma 到 β\beta 的基底轉換矩陣 (Change of Basis Matrix)。

相似矩陣的幾何意義

相似關係的性質​

相似關係（記作 ∼\sim）是一種等價關係 (Equivalence Relation)：

  1. 反身性 (Reflexive)：A∼AA \sim A（取 P=IP = I）
  2. 對稱性 (Symmetric)：若 A∼BA \sim B，則 B∼AB \sim A
  3. 遞移性 (Transitive)：若 A∼BA \sim B 且 B∼CB \sim C，則 A∼CA \sim C

相似矩陣的不變量 (Similarity Invariants)​

核心定理：相似矩陣有相同的特徵多項式​

定理：若 A∼BA \sim B，則 AA 與 BB 有相同的特徵多項式。

證明：

設 B=P−1APB = P^{-1}AP，則：

det⁡(B−λI)=det⁡(P−1AP−λI)=det⁡(P−1AP−λP−1IP)=det⁡(P−1(A−λI)P)=det⁡(P−1)⋅det⁡(A−λI)⋅det⁡(P)=1det⁡(P)⋅det⁡(A−λI)⋅det⁡(P)=det⁡(A−λI)\begin{aligned} \det(B - \lambda I) &= \det(P^{-1}AP - \lambda I) \\ &= \det(P^{-1}AP - \lambda P^{-1}IP) \\ &= \det(P^{-1}(A - \lambda I)P) \\ &= \det(P^{-1}) \cdot \det(A - \lambda I) \cdot \det(P) \\ &= \frac{1}{\det(P)} \cdot \det(A - \lambda I) \cdot \det(P) \\ &= \det(A - \lambda I) \end{aligned}

因此 AA 與 BB 有相同的特徵多項式。□\square

不變量的連鎖效應​

由於相似矩陣擁有相同的特徵多項式，它們也共享許多由特徵多項式所決定的性質：

不變量說明
特徵值特徵多項式的根完全相同
特徵值的代數重根數每個根的重數相同
行列式 (Determinant)det⁡(A)=det⁡(B)=λ1λ2⋯λn\det(A) = \det(B) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n
跡 (Trace)tr(A)=tr(B)=λ1+λ2+⋯+λn\text{tr}(A) = \text{tr}(B) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n
秩 (Rank)rank(A)=rank(B)\text{rank}(A) = \text{rank}(B)
可逆性AA 可逆 ⇔\Leftrightarrow BB 可逆
不變量的意義

相似矩陣就像是「同一個人的不同照片」：從不同角度拍攝（不同基底），外觀細節可能不同，但本質特徵（如身高、體重）是不變的。

這些不變量揭示了線性變換的「內在性質」，不會因為座標系統的選擇而改變。特徵值之所以重要，正是因為它們是線性變換的本質特徵。

注意：相同特徵多項式不保證相似​

重要的是，逆命題不成立！兩個矩陣有相同的特徵多項式，不代表它們相似。

反例：

A=[0100]與B=[0000]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{與} \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

兩者的特徵多項式都是 λ2\lambda^2，但：

  • A≠P−1BPA \neq P^{-1}BP 對任何可逆 PP

這是因為 B=OB = O（零矩陣），而 P−1OP=OP^{-1}OP = O，所以 AA 無法與 BB 相似。