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矩陣對角化 (Diagonalization of Matrices)

備註

本系列文章內容參考自經典教材 Elementary Linear Algebra (Pearson New International Edition)。本文對應章節：Ch5-3 Diagonalization of Matrices。

對角化的定義​

基本定義​

設 AA 為一個 n×nn \times n 的方陣。若存在一個可逆矩陣 PP 與一個對角矩陣 DD，使得：

A=PDP−1\colorbox{yellow}{$A = PDP^{-1}$}

則稱矩陣 AA 是可對角化的 (Diagonalizable)。

等價地，這個關係也可以寫成：

P−1AP=DP^{-1}AP = D

這表示 AA 與 DD 是相似矩陣 (Similar Matrices)。

與矩陣表示法的關聯

你可能注意到 A=PDP−1A = PDP^{-1} 這個公式與我們在 Ch4-5 線性算子的矩陣表示法 學過的 [T]B=B−1AB[T]_\mathcal{B} = B^{-1}AB 長得非常相似。事實上，它們是同一回事！

回顧那個公式的意義：[T]B[T]_\mathcal{B} 是線性算子 TT 在基底 B\mathcal{B} 下的矩陣表示，而 AA 是標準矩陣。

對角化正是這個概念的特例：當我們選擇的基底 B\mathcal{B} 恰好由特徵向量組成時，TT 在該基底下的矩陣表示 [T]B[T]_\mathcal{B} 就會是對角矩陣 DD！

  • 公式 D=P−1APD = P^{-1}AP 就是 [T]B=B−1AB[T]_\mathcal{B} = B^{-1}AB
  • 基底矩陣 B=PB = P（Column 是特徵向量）
  • 新基底下的矩陣 [T]B=D[T]_\mathcal{B} = D（對角線是特徵值）

簡言之：對角化 = 找到特徵向量基底，使得線性算子的矩陣表示變成對角矩陣。

對角化的結構​

當 AA 可對角化時，矩陣 PP 與 DD 有著特殊的結構：

  • DD 是對角矩陣：其對角線元素是 AA 的特徵值 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n
D=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn]D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}
  • PP 的 Column 是對應的特徵向量：第 ii 個 Column 是 λi\lambda_i 的特徵向量 xi\mathbf{x}_i
P=[∣∣∣x1x2⋯xn∣∣∣]P = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \cdots & \mathbf{x}_n \\ | & | & & | \end{bmatrix}

對角化概念示意圖

特徵值與特徵向量的順序對應

DD 的對角線上的特徵值順序與 PP 中特徵向量的排列順序必須一致。也就是說，如果 DD 的第 ii 個對角元素是 λi\lambda_i，那麼 PP 的第 ii 個 Column 必須是 λi\lambda_i 對應的特徵向量。


為什麼 A = PDP⁻¹ 成立？​

推導過程​

讓我們從 AP=PDAP = PD 出發（這等價於 A=PDP−1A = PDP^{-1}，前提是 PP 可逆）。

設 P=[x1∣x2∣⋯∣xn]P = [\mathbf{x}_1 | \mathbf{x}_2 | \cdots | \mathbf{x}_n]，其中 xi\mathbf{x}_i 是 λi\lambda_i 的特徵向量。則：

AP=A[x1∣x2∣⋯∣xn]=[Ax1∣Ax2∣⋯∣Axn]AP = A[\mathbf{x}_1 | \mathbf{x}_2 | \cdots | \mathbf{x}_n] = [A\mathbf{x}_1 | A\mathbf{x}_2 | \cdots | A\mathbf{x}_n]

由於 Axi=λixiA\mathbf{x}_i = \lambda_i \mathbf{x}_i（特徵值定義），所以：

AP=[λ1x1∣λ2x2∣⋯∣λnxn]AP = [\lambda_1\mathbf{x}_1 | \lambda_2\mathbf{x}_2 | \cdots | \lambda_n\mathbf{x}_n]

另一方面：

PD=[x1∣x2∣⋯∣xn][λ1λ2⋱λn]=[λ1x1∣λ2x2∣⋯∣λnxn]PD = [\mathbf{x}_1 | \mathbf{x}_2 | \cdots | \mathbf{x}_n] \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} = [\lambda_1\mathbf{x}_1 | \lambda_2\mathbf{x}_2 | \cdots | \lambda_n\mathbf{x}_n]

因此 AP=PDAP = PD。若 PP 可逆（即這些特徵向量線性獨立），則可將兩邊右乘 P−1P^{-1} 得到 A=PDP−1A = PDP^{-1}。

P 可逆的條件​

PP 可逆的充要條件是：它的 nn 個 Column 向量（即 nn 個特徵向量）線性獨立。

對角化的關鍵就在這裡：我們需要找到 nn 個線性獨立的特徵向量！


對角化的幾何意義​

對角化的核心問題是：我們能否找到一組由特徵向量組成的基底？

為什麼需要 n 個線性獨立的特徵向量？​

要建立矩陣 PP，我們需要 nn 個特徵向量排成 nn 個 Column。但更關鍵的是，PP 必須是可逆的，這樣才能計算 P−1P^{-1}，從而得到 A=PDP−1A = PDP^{-1}。

而 PP 可逆的條件是什麼？正是它的 nn 個 Column 向量線性獨立！

用幾何語言來說：這 nn 個特徵向量必須能「撐開」整個 Rn\mathbb{R}^n 空間，形成一組基底。

特徵向量是否能撐開空間

上圖對比了兩種情況：

  • 左圖（可對角化）：存在兩個線性獨立的特徵向量 x1,x2\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2，它們的 Span 是整個 R2\mathbb{R}^2 平面，因此可以形成基底，PP 可逆
  • 右圖（不可對角化）：只有一個特徵向量方向，無論如何縮放都只能得到一條線，無法「撐開」R2\mathbb{R}^2，因此無法形成 PP

對角矩陣的幾何意義：D 就是 [T]_B​

還記得在 Ch4-5 我們學過：同一個線性算子 TT 在不同基底下會有不同的矩陣表示。如果標準矩陣是 AA，那麼在基底 B\mathcal{B} 下的矩陣表示是：

[T]B=PB−1APB[T]_\mathcal{B} = P_\mathcal{B}^{-1} A P_\mathcal{B}

現在的關鍵洞察是：如果我們選擇的基底 B\mathcal{B} 恰好由特徵向量組成，那麼 [T]B[T]_\mathcal{B} 就變成了對角矩陣 DD！

D=[T]B=P−1AP\colorbox{yellow}{$D = [T]_\mathcal{B} = P^{-1}AP$}

換句話說：對角矩陣 DD 就是線性算子在特徵向量基底下的矩陣表示。

對角矩陣是特徵向量基底下的算子

上圖展示：在特徵向量基底 B={x1,x2}\mathcal{B} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2\} 下，變換 TT 對每個基底向量的作用是沿著該方向縮放，即 T(x1)=λ1x1T(\mathbf{x}_1) = \lambda_1 \mathbf{x}_1，T(x2)=λ2x2T(\mathbf{x}_2) = \lambda_2 \mathbf{x}_2。這就是對角矩陣 D=diag(λ1,λ2)D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2) 的行為。

為什麼特徵向量基底讓矩陣變成對角？​

這有一個非常自然的解釋：

在特徵向量基底 B={x1,x2,…,xn}\mathcal{B} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n\} 下：

  • 基底向量 x1\mathbf{x}_1 的 B\mathcal{B} 座標是 [x1]B=[10⋮0][\mathbf{x}_1]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}（第一個座標軸）
  • 變換後 T(x1)=Ax1=λ1x1T(\mathbf{x}_1) = A\mathbf{x}_1 = \lambda_1 \mathbf{x}_1
  • 所以 [T(x1)]B=[λ10⋮0][T(\mathbf{x}_1)]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}（只在第一個座標軸上縮放 λ1\lambda_1 倍！）

對每個基底向量 xi\mathbf{x}_i 都是如此：變換後只是在第 ii 個座標軸上縮放 λi\lambda_i 倍，完全不影響其他座標。

這就是對角矩陣的特性：每個座標軸獨立縮放，互不干擾。

對角化的直覺

我理解對角化的關鍵在於：特徵向量是線性變換「不會扭曲」的方向。

如果我們有足夠多這種「不會扭曲的方向」（nn 個線性獨立的特徵向量），就能用它們作為新的座標系統。在這個座標系統下，變換只是沿著每個座標軸伸縮，行為變得最簡單，而這個簡化後的表示就是對角矩陣 DD。

反過來，如果特徵向量不夠多，就表示有些方向必然會被「扭曲」，無法用純粹的縮放來描述，這時矩陣就無法對角化。


對角化的應用：計算矩陣的次方​

對角化最強大的應用之一是快速計算矩陣的高次方。

核心公式​

若 A=PDP−1A = PDP^{-1}，則：

Ak=PDkP−1\colorbox{yellow}{$A^k = PD^kP^{-1}$}

證明：

Ak=(PDP−1)(PDP−1)⋯(PDP−1)=PD(P−1P)D(P−1P)⋯DP−1=PDkP−1A^k = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P) \cdots DP^{-1} = PD^kP^{-1}

對角矩陣的次方極易計算​

對角矩陣的 kk 次方只需將每個對角元素各自取 kk 次方：

Dk=[λ1k0⋯00λ2k⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λnk]D^k = \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{bmatrix}

對角矩陣次方計算

範例：計算 A¹⁰⁰​

設 A=[72−41]A = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}，求 A100A^{100}。

Step 1：找特徵值

det⁡(A−λI)=(7−λ)(1−λ)+8=λ2−8λ+15=(λ−3)(λ−5)=0\det(A - \lambda I) = (7-\lambda)(1-\lambda) + 8 = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = (\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0

特徵值：λ1=3\lambda_1 = 3, λ2=5\lambda_2 = 5

Step 2：找特徵向量

對於 λ1=3\lambda_1 = 3：

(A−3I)x=[42−4−2]x=0⇒x1=[1−2](A - 3I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}

對於 λ2=5\lambda_2 = 5：

(A−5I)x=[22−4−4]x=0⇒x2=[1−1](A - 5I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

Step 3：建立 P 與 D

將特徵向量依序排列成 PP 的 Column，對應的特徵值依相同順序排列在 DD 的對角線上：

  • 第 1 個 Column 是 λ1=3\lambda_1 = 3 的特徵向量 x1=[1−2]\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}
  • 第 2 個 Column 是 λ2=5\lambda_2 = 5 的特徵向量 x2=[1−1]\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
P=[x1x2]=[11−2−1],D=[λ100λ2]=[3005]P = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}

Step 4：計算 P⁻¹

P−1=1(−1)(−1)−(1)(−2)[−1−121]=[−1−121]P^{-1} = \frac{1}{(-1)(-1) - (1)(-2)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

Step 5：計算 A¹⁰⁰

A100=PD100P−1=[11−2−1][3100005100][−1−121]A^{100} = PD^{100}P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{100} & 0 \\ 0 & 5^{100} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} =[2⋅5100−31005100−31002⋅3100−2⋅51002⋅3100−5100]= \begin{bmatrix} 2 \cdot 5^{100} - 3^{100} & 5^{100} - 3^{100} \\ 2 \cdot 3^{100} - 2 \cdot 5^{100} & 2 \cdot 3^{100} - 5^{100} \end{bmatrix}
計算複雜度的巨大差異

如果直接計算 A100A^{100}（連乘 100 次），需要約 O(n3×100)O(n^3 \times 100) 次運算。

使用對角化後，主要成本在於：

  • 計算 P−1P^{-1}：O(n3)O(n^3)
  • 計算 D100D^{100}：只需 O(n)O(n)（每個對角元素獨立計算）
  • 兩次矩陣乘法：O(n3)O(n^3)

當 kk 很大時，對角化帶來的效率提升是巨大的！


可對角化的條件​

不是所有矩陣都能對角化。以下是判斷矩陣是否可對角化的三個層次：

充分條件：n 個相異特徵值​

定理：若 n×nn \times n 矩陣 AA 擁有 nn 個互不相同的特徵值，則 AA 必定可以對角化。

原因：對應於不同特徵值的特徵向量必定線性獨立（這是一個重要定理）。因此，nn 個相異特徵值必產生 nn 個線性獨立的特徵向量。

注意

這只是充分條件，不是必要條件！即使有重複的特徵值，矩陣仍可能是可對角化的（只要幾何重根數等於代數重根數）。

充要條件：n 個線性獨立的特徵向量​

定理：矩陣 AA 可對角化 ⇔\Leftrightarrow AA 擁有 nn 個線性獨立的特徵向量。

這 nn 個線性獨立的特徵向量構成 Rn\mathbb{R}^n 的一組基底。

特徵向量要能「撐開」整個空間

我的理解是：對角化的本質是找到一組由特徵向量組成的基底。如果我們無法找到足夠的線性獨立特徵向量來「撐開」Rn\mathbb{R}^n 空間，矩陣就無法對角化。

因此我們需要檢查「特徵向量的總數是否等於 nn」，確保它們能形成一組完整的基底。

最嚴謹的判斷：代數重根數 = 幾何重根數​

定理：矩陣 AA 可對角化 ⇔\Leftrightarrow 對於每一個特徵值 λi\lambda_i，其代數重根數等於幾何重根數： am(λi)=gm(λi)對所有特徵值成立\text{am}(\lambda_i) = \text{gm}(\lambda_i) \quad \text{對所有特徵值成立}

回顧定義：

  • 代數重根數 am(λ)\text{am}(\lambda)：λ\lambda 作為特徵多項式根的重數
  • 幾何重根數 gm(λ)\text{gm}(\lambda)：特徵空間 Eλ=Null(A−λI)E_\lambda = \text{Null}(A - \lambda I) 的維度

由於恆有 1≤gm(λ)≤am(λ)1 \leq \text{gm}(\lambda) \leq \text{am}(\lambda)，可對角化的條件等價於：

∑i=1kgm(λi)=n\colorbox{lightblue}{$\sum_{i=1}^{k} \text{gm}(\lambda_i) = n$}

即所有特徵空間的維度總和等於 nn。


對角化的步驟流程​

對角化流程圖

完整對角化流程​

給定 n×nn \times n 矩陣 AA：

Step 1：計算特徵多項式 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0，求出所有特徵值 λ1,λ2,…,λk\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k（及其代數重根數）

Step 2：對每個特徵值 λi\lambda_i，解 (A−λiI)x=0(A - \lambda_i I)\mathbf{x} = \mathbf{0} 求出特徵空間 EλiE_{\lambda_i} 的一組基底

Step 3：檢查是否可對角化：

  • 若每個 gm(λi)=am(λi)\text{gm}(\lambda_i) = \text{am}(\lambda_i)，則可對角化
  • 若某個 gm(λi)<am(λi)\text{gm}(\lambda_i) < \text{am}(\lambda_i)，則不可對角化

Step 4：若可對角化：

  • 將所有特徵空間的基底向量合併，形成 P=[x1∣x2∣⋯∣xn]P = [\mathbf{x}_1 | \mathbf{x}_2 | \cdots | \mathbf{x}_n]
  • 建立對角矩陣 DD，對角線元素為對應的特徵值

則 A=PDP−1A = PDP^{-1}。


不可對角化的矩陣：虧缺矩陣​

定義​

若矩陣 AA 存在某個特徵值 λ\lambda，使得：

gm(λ)<am(λ)\text{gm}(\lambda) < \text{am}(\lambda)

則稱 AA 為虧缺矩陣 (Defective Matrix)。虧缺矩陣無法對角化。

經典範例​

考慮矩陣：

A=[2102]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

虧缺矩陣範例

分析：

  1. 特徵多項式：(2−λ)2=0(2 - \lambda)^2 = 0，故 λ=2\lambda = 2 是唯一特徵值，am(2)=2\text{am}(2) = 2

  2. 計算幾何重根數：

    A−2I=[0100]A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

    rank(A−2I)=1\text{rank}(A - 2I) = 1，故 gm(2)=2−1=1\text{gm}(2) = 2 - 1 = 1

  3. 由於 gm(2)=1≠2=am(2)\text{gm}(2) = 1 \neq 2 = \text{am}(2)，此矩陣不可對角化。

為什麼有些矩陣不能對角化？

虧缺矩陣的幾何意義是：變換 AA 對空間做了某種「剪切 (Shear)」效果，不僅僅是縮放。

以上面的例子來說，矩陣 A=[2102]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} 會把向量沿著 xx 軸方向「斜切」。只有一個方向（xx 軸）是真正被保持的特徵方向，另一個維度的「純粹縮放」行為不存在。

所以我們找不到兩個線性獨立的特徵向量，無法用對角矩陣來表達這種「帶有剪切」的變換。


重要定理：不同特徵值的特徵向量線性獨立​

定理陳述​

設 λ1,λ2,…,λk\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k 是矩陣 AA 的 kk 個相異特徵值，x1,x2,…,xk\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k 分別是對應的特徵向量。則 x1,x2,…,xk\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k 線性獨立。

證明（數學歸納法）​

Base case：k=1k = 1 時，由於特徵向量 x1≠0\mathbf{x}_1 \neq \mathbf{0}，單一向量必線性獨立。

Inductive step：假設對於 k−1k-1 個相異特徵值成立，考慮 kk 個的情況。

假設存在係數使得：

c1x1+c2x2+⋯+ckxk=0...(1)c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0} \quad \text{...(1)}

對等式兩邊左乘 AA：

c1λ1x1+c2λ2x2+⋯+ckλkxk=0...(2)c_1\lambda_1\mathbf{x}_1 + c_2\lambda_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_k\lambda_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0} \quad \text{...(2)}

將 (1) 乘以 λk\lambda_k 後從 (2) 中減去：

c1(λ1−λk)x1+c2(λ2−λk)x2+⋯+ck−1(λk−1−λk)xk−1=0c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{x}_1 + c_2(\lambda_2 - \lambda_k)\mathbf{x}_2 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{x}_{k-1} = \mathbf{0}

由歸納假設，x1,…,xk−1\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_{k-1} 線性獨立，且因 λi≠λk\lambda_i \neq \lambda_k（i<ki < k），故：

c1(λ1−λk)=c2(λ2−λk)=⋯=ck−1(λk−1−λk)=0c_1(\lambda_1 - \lambda_k) = c_2(\lambda_2 - \lambda_k) = \cdots = c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k) = 0

因此 c1=c2=⋯=ck−1=0c_1 = c_2 = \cdots = c_{k-1} = 0。

代回 (1)：ckxk=0c_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0}。由於 xk≠0\mathbf{x}_k \neq \mathbf{0}，故 ck=0c_k = 0。

因此所有係數皆為零，x1,x2,…,xk\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k 線性獨立。□\square

推論​

此定理直接導出：若 n×nn \times n 矩陣有 nn 個相異特徵值，則它必定可對角化。


範例：完整對角化流程​

範例：對角化 3×3 矩陣​

對角化矩陣 A=[100011002]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}。

Step 1：求特徵值

由於 AA 是上三角矩陣，特徵值就是對角線元素：

λ1=1（二重根）,λ2=2（單根）\lambda_1 = 1 \text{（二重根）}, \quad \lambda_2 = 2 \text{（單根）}

所以 am(1)=2\text{am}(1) = 2, am(2)=1\text{am}(2) = 1。

Step 2：求特徵向量

求特徵向量的核心問題是：對於每個特徵值 λ\lambda，解齊次線性方程組 (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}。

對於 λ=1\lambda = 1：

子步驟 2.1：計算 A−λIA - \lambda I

A−I=[1−10001−11002−1]=[000001001]A - I = \begin{bmatrix} 1-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-1 & 1 \\ 0 & 0 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

子步驟 2.2：化簡為 RREF

[000001001]→R3−R2[000001000]→交換[001000000]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{交換}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

子步驟 2.3：將 RREF 轉換回方程式

RREF 的每一列代表一個方程式。把矩陣 [001000000]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 對應的增廣矩陣還原成方程組：

  • 第一列 [0,0,1∣0][0, 0, 1 | 0]：0⋅x1+0⋅x2+1⋅x3=00 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 = 0 → x3=0x_3 = 0
  • 第二列和第三列都是 [0,0,0∣0][0, 0, 0 | 0]：這是恆成立的 0=00 = 0，不提供任何資訊

結論：唯一的約束是 x3=0x_3 = 0，而 x1x_1 和 x2x_2 完全沒有被約束。

子步驟 2.4：識別自由變數與寫出通解

在 RREF 中：

  • Pivot column（主元行）：有 leading 1 的那些 column。這裡只有第 3 行有 leading 1
  • 自由變數：不在 pivot column 的變數可以「自由選擇」任意值。這裡 x1,x2x_1, x_2 是自由變數

既然 x1,x2x_1, x_2 可以自由取值，而 x3=0x_3 = 0 是固定的，通解就是：

x=[x1x20]其中 x1,x2∈R 任意\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \text{其中 } x_1, x_2 \in \mathbb{R} \text{ 任意}

子步驟 2.5：分離自由變數，找出基底向量

從子步驟 2.4 我們已經知道有 2 個自由變數（x1,x2x_1, x_2），所以解空間的維度 = 2。

但對角化不只需要知道「維度是多少」，還需要實際寫出基底向量來組成矩陣 PP。通解 [x1x20]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} 描述的是「無限多個向量的集合」，我們必須從中挑出具體的基底向量。

標準做法是：把通解改寫成「固定向量的線性組合」，讓每個自由變數各自乘上一個固定向量：

x=[x1x20]=[x100]+[0x20]=x1[100]+x2[010]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

這樣就能讀出：特徵空間 E1E_1 的基底是 [100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 和 [010]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}，正是我們要放進矩陣 PP 的向量。

E1E_1 的基底：v1=[100]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, v2=[010]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

gm(1)=2=am(1)\text{gm}(1) = 2 = \text{am}(1) ✓

特徵「向量」解出來卻是平面？

這是一個常見的誤解：很多人以為解特徵向量會得到「一個向量」，但實際上解齊次方程組 (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0} 得到的是一個子空間（特徵空間 EλE_\lambda）。

在這個例子中，λ=1\lambda = 1 的特徵空間 E1E_1 是一個二維平面（由 v1,v2\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 張成），而不是單一向量。這個平面上的任何非零向量都是 λ=1\lambda = 1 的特徵向量！

特徵空間的維度（幾何重根數）告訴我們：

  • 維度 = 1：特徵向量都在同一條線上
  • 維度 = 2：特徵向量張成一個平面
  • 維度 = kk：特徵向量張成 kk 維子空間

對於 λ=2\lambda = 2：

子步驟 2.1：計算 A−2IA - 2I

A−2I=[1−20001−21002−2]=[−1000−11000]A - 2I = \begin{bmatrix} 1-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1-2 & 1 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

子步驟 2.2：化簡為 RREF

[−1000−11000]→−R1,−R2[10001−1000]\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{-R_1, -R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

子步驟 2.3：將 RREF 轉換回方程式

  • 第一列 [1,0,0∣0][1, 0, 0 | 0]：x1=0x_1 = 0
  • 第二列 [0,1,−1∣0][0, 1, -1 | 0]：x2−x3=0x_2 - x_3 = 0 → x2=x3x_2 = x_3
  • 第三列 [0,0,0∣0][0, 0, 0 | 0]：0=00 = 0（恆成立）

子步驟 2.4：識別自由變數與寫出通解

  • Pivot columns：第 1 行和第 2 行（有 leading 1）
  • 自由變數：x3x_3（第 3 行不是 pivot column）

既然 x3x_3 是自由的，設 x3=tx_3 = t（任意實數），則：

  • x2=x3=tx_2 = x_3 = t
  • x1=0x_1 = 0

通解：

x=[0tt]其中 t∈R 任意\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ t \\ t \end{bmatrix} \quad \text{其中 } t \in \mathbb{R} \text{ 任意}

子步驟 2.5：分離自由變數，找出基底向量

x=[0tt]=t[011]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ t \\ t \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

這告訴我們：解空間是由 [011]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 張成的一條線。

E2E_2 的基底：v3=[011]\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

gm(2)=1=am(2)\text{gm}(2) = 1 = \text{am}(2) ✓

Step 3：建立 P 與 D

由於每個特徵值的 gm=am\text{gm} = \text{am}，矩陣可對角化。

將所有特徵向量排成 PP 的 columns，對應的特徵值排成 DD 的對角線：

P=[∣∣∣v1v2v3∣∣∣]=[100011001],D=[100010002]P = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \\ | & | & | \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

（v1,v2\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 對應 λ=1\lambda = 1，v3\mathbf{v}_3 對應 λ=2\lambda = 2）

則 A=PDP−1A = PDP^{-1}。